Дайте определение арифметической прогрессии и приведите формулу для нахождения n-го члена.

Вот подробное объяснение, чтобы вы поняли понятие и получили формулу для n-го члена.

Что такое арифметическая прогрессия

• Арифметическая прогрессия (АП) — это последовательность чисел a1, a2, a3, … такая, что разность между любыми соседними членами постоянна. Эта константа называется общей разностью d.
• То есть для всех n ≥ 1 выполняется: a_{n+1} − a_n = d, где d не зависит от n.
• Введем обозначения: a1 — первый член прогрессии, d — общая разность (может быть положительной, нулевой или отрицательной).

Формула для n-го члена

• Основная формула: a_n = a1 + (n − 1) d, для n = 1, 2, 3, …
  • Логика: a2 = a1 + d, a3 = a2 + d = a1 + 2d, и так далее. При n шагов мы добавляем d ровно (n − 1) раз.

Дополнительные заметки

• Альтернатива с нулевой индексацией: если считать первый член как a0 (то есть нулевой индекс), то a_n = a0 + n d. Это просто другая система нумерации.
• Если известны a1 и d и нужно найти какой-то другой член, используйте формулу выше. Если известен конкретный член a_n и разность d, можно найти первый член: a1 = a_n − (n − 1) d.

Примеры

• Пример 1: a1 = 5, d = 3.
  • Тогда a_n = 5 + (n − 1)·3 = 3n + 2.
  • Например, a4 = 5 + 3·3 = 14.
• Пример 2: a1 = 10, d = −2.
  • Тогда a_n = 10 + (n − 1)(−2) = 10 − 2(n − 1).
  • Например, a5 = 10 − 2·4 = 2.

Это всё, что нужно для определения и вычисления n-го члена арифметической прогрессии. Если хотите, могу привести ещё примеры или разобрать задачу с конкретными числами.