8. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(8;-3),В(5;1), С(12;0). Докажите, что< В =< С. Найдите площадь треугольника.

Задача: A(8,−3), B(5,1), C(12,0). Доказать, что ∠B ≤ ∠C, и найти площадь треугольника ABC. 1) Сопоставление углов и сторон - Угол B противоположен стороне AC. - Угол C противоположен стороне AB. Чтобы доказать ∠B ≤ ∠C достаточно сравнить длины AC и AB: если AC ≤ AB, то ∠B ≤ ∠C. 2) Найдем длины AB и AC - AB^2 = (x_B − x_A)^2 + (y_B − y_A)^2 = (5−8)^2 + (1−(−3))^2 = (−3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 → AB = 5. - AC^2 = (x_C − x_A)^2 + (y_C − y_A)^2 = (12−8)^2 + (0−(−3))^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 → AC = 5. Получаем AB = AC. Следовательно, углы напротив них равны: ∠B = ∠C. В частности, ∠B ≤ ∠C. 3) Площадь треугольника ABC Вектор AB = B − A = (−3, 4), вектор AC = C − A = (4, 3). Площадь треугольника равна половине модуля эффективного параллелограмма: S = 1/2 |AB_x · AC_y − AB_y · AC_x| = 1/2 |(−3)·3 − 4·4| = 1/2 |−9 − 16| = 1/2 · 25 = 25/2. Ответ: - ∠B = ∠C, значит ∠B ≤ ∠C. - Площадь треугольника ABC равна 25/2 квадратных единиц (или 12,5).