х²-4х+3 ÷х²-9>=0

Задача: (x^2 - 4x + 3) / (x^2 - 9) ≥ 0.

Пояснения по шагам (для школьного уровня, 9 класс):

1. Определяем область допустимых значений

• В знаменателе стоит x^2 - 9, значит нельзя иметь x^2 - 9 = 0 → x ≠ 3 и x ≠ -3.
• Таким образом, домен выражения: R \ { -3, 3 }.

2. Факторизация

• числитель: x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
• знаменатель: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

3. Сокращение факторов

• Вроде бы можно сократить общий множитель (x - 3), но только если x ≠ 3 (так как при x = 3 выражение не определено).
• После сокращения получаем неравенство (на допустимой области): (x - 1) / (x + 3) ≥ 0, при этом x ≠ -3 и x ≠ 3.

4. Решение неравенства

• Неравенство (x - 1) / (x + 3) ≥ 0 имеет ноль в числителе при x = 1, а знаменатель обращает знак в точке x = -3 (это вертикальная асимптота).
• Разделим числовую ось на интервалы по критическим точкам -3 и 1:
  • (-∞, -3): возьмём x = -4 → (x - 1)/(x + 3) = (-5)/(-1) > 0
  • (-3, 1): возьмём x = 0 → (x - 1)/(x + 3) = (-1)/(3) < 0
  • (1, ∞): возьмём x = 2 → (x - 1)/(x + 3) = 1/5 > 0
• Значит выражение ≥ 0 на интервалах (-∞, -3) и на (1, ∞). В точке x = 1 значение равно 0, поэтому x = 1 включаем.
• Не забываем исключить точки x = -3 и x = 3 (они не входят в домен).

5. Итоговый ответ (-∞, -3) ∪ [1, 3) ∪ (3, ∞)

Проверка примерами:

• x = -4: числитель положительный, знаменатель положительный → ≥ 0, включаем.
• x = 0: значение отрицательное → не включаем.
• x = 2: значение положительное → включаем.
• x = 1: значение равно 0 → включаем.
• x = 3 или x = -3 недоступны (поскольку выражение не определено).

Если хочешь, могу привести еще одну альтернативную методику через окно знаков множителей без явного сокращения, или привести график функции для наглядности.