1)Имеется смесь двух вешеств. Если добавить B смесь 3 кг второго вешества, его процентное содержание в смеси увеличится в два раза Если в начальную смесь добавить З кг первого…

Давай решим обе задачи подробно и пошагово.

Задача 1. Смесь двух веществ A и B Пусть в начальной смеси содержится x кг вещества A и y кг вещества B. Общая масса T = x + y.

Условия:

1. После добавления 3 кг вещества B доля B в смеси возрастает вдвое: (y + 3) / (T + 3) = 2y / T. Раскроем: (y + 3)T = 2y(T + 3) yT + 3T = 2yT + 6y 0 = yT + 6y - 3T 3T = y(T + 6) ⇒ y = 3T / (T + 6). (Eq. A)

2. Если к начальной смеси добавить Z кг первого вещества A, доля B уменьшается в 2 раза (т. е. становится вдвое меньше исходной): y / (T + Z) = (1/2) · (y / T). Так как y > 0, можно упростить: 1 / (T + Z) = (1/2) · (1 / T) ⇒ T + Z = 2T ⇒ Z = T. Т.е. общая начальная масса T равна Z. (Eq. B)

Теперь совместимEq. A и Eq. B. Подставим T = Z в Eq. A: y = 3Z / (Z + 6). А x можно выразить через T и y: x = T − y = Z − 3Z/(Z+6) = Z(Z+3)/(Z+6).

Итого, при заданном Z массы начальной смеси:

• B (вторая компонента): y = 3Z / (Z + 6) кг
• A (первая компонента): x = Z(Z + 3) / (Z + 6) кг

Пример с Z = 8 кг (часто встречается в таких задачах):

• T = Z = 8
• y = 3·8 / (8 + 6) = 24 / 14 = 12/7 ≈ 1,714 кг
• x = 8(8 + 3) / (8 + 6) = 8·11 / 14 = 88/14 = 44/7 ≈ 6,286 кг

Проверка:

• После добавления 3 кг B: B = y + 3 = 12/7 + 3 = 33/7, новый total = 11, доля B = (33/7)/11 = 3/7, а исходная доля B была y/T = (12/7)/8 = 3/14, их соотношение действительно 2×.
• После добавления Z = T = 8 кг A: доля B становится y/(T+Z) = (12/7)/16 = 12/112 = 3/28, а исходная доля B была 3/14; Это действительно половина.

Итак, для общего Z результат формулами вами является:

• масса A: x = Z(Z + 3) / (Z + 6) кг
• масса B: y = 3Z / (Z + 6) кг А для конкретного Z = 8 кг получаются x ≈ 6,29 кг и y ≈ 1,71 кг.

Задача 2. Смесь двух жидкостей (объемы A и B) Пусть в начальной смеси содержится a литров первой жидкости и b литров второй. Всего T = a + b литров.

Условия:

1. Если добавить 8 литров первой жидкости, доля первой жидкости в смеси увеличится в два раза: (a + 8) / (T + 8) = 2a / T. Раскроем: (a + 8)T = 2a(T + 8) aT + 8T = 2aT + 16a 0 = aT + 16a − 8T aT − 8T = −16a T(a − 8) = −16a Не так удобно так записывать. Приведем в более прямой вид: a^2 + ab + 8a − 8b = 0. (Eq. C)

2. Если добавить 8 литров второй жидкости, концентрация первой жидкости уменьшается в полтора раза (то есть становится на 2/3 от исходной): a / (T + 8) = (2/3) · (a / T) Упрощение (при a > 0) даёт: 1 / (T + 8) = (2/3) · (1 / T) ⇒ T + 8 = (3/2) T ⇒ T = 16. (И это решение не зависит от a, пока a > 0.)

Теперь знаем T = a + b = 16. Подставим в Eq. C и выразим a (используем b = 16 − a): a^2 + a(16 − a) + 8a − 8(16 − a) = 0 a^2 + 16a − a^2 + 8a − 128 + 8a = 0 32a − 128 = 0 ⇒ a = 4. Тогда b = 16 − 4 = 12.

Ответ задачи 2:

• Первая жидкость: 4 литра
• Вторая жидкость: 12 литров

Итог:

• Задача 1 (обобщённо): при добавлении Z кг первого вещества и 3 кг второго, а также при условии, что суммарная масса равна Z, массы начальной смеси равны: A = x = Z(Z + 3)/(Z + 6), B = y = 3Z/(Z + 6). При Z = 8 кг получаются A ≈ 6,29 кг и B ≈ 1,71 кг.
• Задача 2: начальные объемы: первая жидкость 4 л, вторая 12 л (итоговая сумма 16 л).