y = x²-6x+4. Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, B которых f(x) < 0 и f (x) > 0;

Задача: y = x^2 - 6x + 4. Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, на которых f(x) < 0 и f(x) > 0.

Решение:

1. Нули функции (пересечение графика с осью Ox)

• Приведём уравнение к виду f(x) = 0: x^2 - 6x + 4 = 0.
• Вычислим дискриминант: Δ = (-6)^2 - 4·1·4 = 36 - 16 = 20.
• Корни: x = [6 ± sqrt(20)]/2 = 3 ± sqrt(5).
• Имеем нули в точках x1 = 3 - sqrt(5) и x2 = 3 + sqrt(5).

Численно: sqrt(5) ≈ 2.236, значит x1 ≈ 0.764, x2 ≈ 5.236.

2. Промежутки, на которых f(x) < 0 и f(x) > 0

• Поскольку коэффициент a = 1 > 0, парабола открывается вверх. Значение минимума достигается в вершине при x = -b/(2a) = 6/2 = 3, и f(3) = 3^2 - 6·3 + 4 = 9 - 18 + 4 = -5.
• Функция отрицательна между корнями (внутри интервала между нулями) и положительна вне их.

Итак:

• f(x) < 0 на промежутке (3 - sqrt(5), 3 + sqrt(5)).
• f(x) > 0 на промежутках (-∞, 3 - sqrt(5)) и (3 + sqrt(5), ∞).

Коротко:

• Нули: x = 3 ± sqrt(5).
• f(x) < 0: (3 - sqrt(5), 3 + sqrt(5)).
• f(x) > 0: (-∞, 3 - sqrt(5)) ∪ (3 + sqrt(5), ∞).