Двугранный угол равен 45°. На одной грани дана точка на расстоянии С от другой грани. Найти расстояние этой точки от ребра.
Задача: двугранный угол θ = 45°. На одной грани точка P отстоящая от другой грани на расстояние C. Найти расстояние от точки до ребра (сечение граней).
Пошаговое решение:
Введем координационную систему. Пусть ребро (лінія пересечения граней) совпадает с осью x. Пусть одна грань дана плоскостью α: y = 0. Вторая грань β получена поворотом α вокруг ребра на угол θ = 45°.
Уравнение второй плоскости β. Если начальная нормаль к α была nα = (0,1,0), после поворота вокруг оси x на угол θ её нормаль становится nβ = (0, cosθ, sinθ). Плоскость β задается условием nβ · (x,y,z) = 0, то есть cosθ·y + sinθ·z = 0.
Точка P на плоскости α имеет координаты P = (x0, 0, z0).
Расстояние от точки P до плоскости β вычисляется по формуле расстояния от точки до плоскости: dist(P, β) = |cosθ·y0 + sinθ·z0| / sqrt(cos²θ + sin²θ) = |sinθ·z0|, потому что y0 = 0 и нормаль нормаль единична.
По условию расстояние до другой грани равно C, значит C = |sinθ·z0|. Так как θ = 45°, sinθ = √2/2, получаем |z0| = C / sinθ = C / (√2/2) = C·√2.
Расстояние от точки P до ребра (до оси x) равно расстоянию до линии x-оси: d = sqrt(y0² + z0²). Так как y0 = 0, получаем d = |z0| = C·√2.
Ответ: расстояние до ребра равно C · √2.
Замечание: общая формула для любого угла θ: d = C / sinθ. В нашем случае θ = 45°, поэтому d = C·√2.
