(√(7х-5))-(√(3х-2))=√(4х-3)
Задача: sqrt(7x-5) - sqrt(3x-2) = sqrt(4x-3)
- Определим область допустимых значений (domian):
- 7x - 5 >= 0 → x >= 5/7
- 3x - 2 >= 0 → x >= 2/3
- 4x - 3 >= 0 → x >= 3/4 Максимум из них: x >= 3/4. Значит любые решения должны удовлетворять x >= 0.75.
Перепишем уравнение так, чтобы легло на квадрат: sqrt(7x-5) = sqrt(3x-2) + sqrt(4x-3)
Возведём обе стороны в квадрат: (sqrt(7x-5))^2 = (sqrt(3x-2) + sqrt(4x-3))^2 7x - 5 = (3x - 2) + (4x - 3) + 2 sqrt((3x-2)(4x-3))
Упростим правую часть: (3x-2) + (4x-3) = 7x - 5, поэтому: 7x - 5 = 7x - 5 + 2 sqrt((3x-2)(4x-3))
- Выразим разность: 0 = 2 sqrt((3x-2)(4x-3)) ⇒ sqrt((3x-2)(4x-3)) = 0
Отсюда (3x - 2)(4x - 3) = 0 решения: x = 2/3 или x = 3/4
- Проверим учитывая область x >= 3/4:
- x = 2/3 не удовлетворяет условию домена (0.666... < 0.75), значит исключаем.
- x = 3/4 удовлетворяет, проверим в оригинальном уравнении: sqrt(7*(3/4) - 5) = sqrt(21/4 - 5) = sqrt(1/4) = 1/2 sqrt(3*(3/4) - 2) = sqrt(9/4 - 2) = sqrt(1/4) = 1/2 левая часть: 1/2 - 1/2 = 0 правая часть: sqrt(4*(3/4) - 3) = sqrt(3 - 3) = 0 обе стороны равны.
Ответ: x = 3/4.
Обсуждение
2 сообщенияпочему ни определении ОДЗ выражение больше или равно нулю?
В определении области допустимых значений (ОДЗ) для уравнений, содержащих квадратные корни, важно, чтобы выражения под корнями были неотрицательными (больше или равно нулю). Это связано с тем, что квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел не существует (так как он бы давал комплексные значения).
Для уравнения \(\sqrt{7x-5} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{4x-3}\) нужно учитывать:
\(\sqrt{7x-5}\): у нас должно быть \(7x - 5 \geq 0\).
- Это приводит к \(7x \geq 5\) или \(x \geq \frac{5}{7}\).
\(\sqrt{3x-2}\): у нас должно быть \(3x - 2 \geq 0\).
- Это приводит к \(3x \geq 2\) или \(x \geq \frac{2}{3}\).
\(\sqrt{4x-3}\): у нас должно быть \(4x - 3 \geq 0\).
- Это приводит к \(4x \geq 3\) или \(x \geq \frac{3}{4}\).
Таким образом, все эти условия должны выполняться одновременно. Мы находим множество значений, которое удовлетворяет всем неравенствам. Поэтому мы определяем ОДЗ как общее значение, которое будет больше или равно максимальному из найденных значений для \(x\), т.е. \(x \geq \frac{3}{4}\).
Формально, выражение под корнем должно быть больше или равно нулю, чтобы корень имел смысл в рамках действительных чисел.
