В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол B равен 90°, угол C равен 150° и AB=BC=CD. Найти величину угла D

Задача: в выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠B = 90°, ∠C = 150°, AB = BC = CD. Найти ∠D. Решение (координатный метод): 1) Поставим систему координат. - Пусть B = (0, 0). - Так как ∠ABC = 90° и AB = BC, можно разместить A на оси x: A = (a, 0) с a > 0. - Так как BC = AB, и ∠ABC = 90°, проекции дадут C на оси y: C = (0, a). 2) Найдём точку D через угол ∠BCD = 150°. - Вектор CB = B − C = (0, −a) — направляющий вниз. - Угол между CB и CD равен 150°, значит направление вектора CD получаем путём поворота CB на +150°. - Поворот CB на +150° даёт направление (cos60°, sin60°) = (1/2, √3/2). Длина CD равна AB = a. - Тогда D = C + a*(1/2, √3/2) = (a/2, a + a√3/2). Имеем A = (a,0), B = (0,0), C = (0,a), D = (a/2, a + a√3/2). 3) Найдём угол D, то есть ∠CDA. - Векторы, образующие угол в D: DC = C − D = (−a/2, −a√3/2), DA = A − D = (a/2, −a(1 + √3/2)). - Скалярное произведение: DC · DA = a^2[ (−1/2)(1/2) + (−√3/2)(−(1 + √3/2)) ] = a^2[ −1/4 + √3/2 + 3/4 ] = a^2(1 + √3)/2. - Длины: |DC| = a, |DA|^2 = a^2[(1/2)^2 + (1 + √3/2)^2] = a^2(2 + √3), so |DA| = a√(2 + √3). - Косинус угла D: cos ∠D = (DC · DA) / (|DC| |DA|) = [a^2(1 + √3)/2] / [a · a√(2 + √3)] = (1 + √3) / (2√(2 + √3)). - Заметим, что: cos^2 ∠D = (1 + √3)^2 / [4(2 + √3)] = (4 + 2√3) / (8 + 4√3) = (2(2 + √3)) / (4(2 + √3)) = 1/2. Поскольку ∠D — внутренний угол и должен быть острым, получаем cos ∠D = √2/2, то есть ∠D = 45°. Ответ: ∠D = 45°.