В треугольнике ABC угол C равен 90°, Найдите высоту CH.

Задача: в треугольнике ABC угол C равен 90°, найдите высоту CH (алитация из вершины C на сторону AB).

Обозначения:

• AC = a, BC = b — стороны, образующие прямой угол в C.
• AB = c — гипотенуза.
• CH — высота из точки C на сторону AB.

Как найти CH:

1. По площади

• площадь треугольника можно показать двумя способами: S = (1/2) * a * b (как у прямоугольного треугольника, основаниями являются legs a и b) S = (1/2) * AB * CH = (1/2) * c * CH
• приравниваем: (1/2) a b = (1/2) c CH
• значит CH = (a · b) / c.

2. Выразить c через a и b (по теореме Пифагора)

• c = sqrt(a^2 + b^2)
• тогда CH = (a b) / sqrt(a^2 + b^2).

3. Альтернативное доказательство через подобие

• ALT из C на AB делит гипотенузу на AH и HB;
• можно показать AH = a^2 / c, HB = b^2 / c, CH^2 = AH · HB.
• отсюда CH^2 = (a^2 / c) · (b^2 / c) = a^2 b^2 / c^2, следовательно CH = ab / c (положительное значение).

Итого: высота CH равна ab / c, где a = AC, b = BC, c = AB. Если известны только a и b, то CH = ab / sqrt(a^2 + b^2).

Пример (для наглядности):

• пусть a = 3, b = 4, тогда c = sqrt(3^2 + 4^2) = 5.
• CH = (3 · 4) / 5 = 12/5 = 2.4.