В треугольнике ABC угол C равен 90°, Найдите высоту CH.

Задача: в треугольнике ABC угол C равен 90°, найдите высоту CH (алитация из вершины C на сторону AB). Обозначения: - AC = a, BC = b — стороны, образующие прямой угол в C. - AB = c — гипотенуза. - CH — высота из точки C на сторону AB. Как найти CH: 1) По площади - площадь треугольника можно показать двумя способами: S = (1/2) * a * b (как у прямоугольного треугольника, основаниями являются legs a и b) S = (1/2) * AB * CH = (1/2) * c * CH - приравниваем: (1/2) a b = (1/2) c CH - значит CH = (a · b) / c. 2) Выразить c через a и b (по теореме Пифагора) - c = sqrt(a^2 + b^2) - тогда CH = (a b) / sqrt(a^2 + b^2). 3) Альтернативное доказательство через подобие - ALT из C на AB делит гипотенузу на AH и HB; - можно показать AH = a^2 / c, HB = b^2 / c, CH^2 = AH · HB. - отсюда CH^2 = (a^2 / c) · (b^2 / c) = a^2 b^2 / c^2, следовательно CH = ab / c (положительное значение). Итого: высота CH равна ab / c, где a = AC, b = BC, c = AB. Если известны только a и b, то CH = ab / sqrt(a^2 + b^2). Пример (для наглядности): - пусть a = 3, b = 4, тогда c = sqrt(3^2 + 4^2) = 5. - CH = (3 · 4) / 5 = 12/5 = 2.4.