4. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (2; -1; 3), В (1; 0; 5), С (2; 1; 5), D (3; 0; 3) является параллелограммом.

Дано точки A(2, -1, 3), B(1, 0, 5), C(2, 1, 5), D(3, 0, 3). Нужно доказать, что ABCD — параллелограмм.

Способ 1: по противоположным сторонам (поровняем векторы)

1. Векторы боковых сторон:

• AB = B − A = (1−2, 0−(−1), 5−3) = (−1, 1, 2).
• BC = C − B = (2−1, 1−0, 5−5) = (1, 1, 0).
• CD = D − C = (3−2, 0−1, 3−5) = (1, −1, −2).
• DA = A − D = (2−3, −1−0, 3−3) = (−1, −1, 0).

2. Проверяем пары противоположных сторон:

• AB и CD: AB = (−1, 1, 2), CD = (1, −1, −2) = −AB. Следовательно AB и CD параллельны и равны по длине (совпадают по модулю, направлены в противоположные стороны, как и должно быть для противоположных сторон параллелограмма).
• BC и DA: BC = (1, 1, 0), DA = (−1, −1, 0) = −BC. Аналогично — параллельны и равны по длине.

Следовательно, противоположные стороны равны и параллельны, значит ABCD — параллелограмм.

Способ 2 (альтернатива, если требуется проверить inciso диагоналей): диагонали ABCD пересекаются на одном балансе

• Диагональ AC: AC = C − A = (0, 2, 2).
• Диагональ BD: BD = D − B = (2, 0, −2).
• Их середины совпадают, если взять средние точки: M_AC = (A + C)/2 = ((2+2)/2, (-1+1)/2, (3+5)/2) = (2, 0, 4), M_BD = (B + D)/2 = ((1+3)/2, (0+0)/2, (5+3)/2) = (2, 0, 4).

Так как середины диагоналей совпадают, диагонали параллелограмма перпендикулярны? Нет, они пересекаются в одной точке и делят друг друга пополам — ещё одно подтверждение того, что ABCD — параллелограмм.

Заключение: точки A(2,−1,3), B(1,0,5), C(2,1,5), D(3,0,3) образуют параллелограмм ABCD.