в равнобедренном треугольнике STC с основанием TC провели биссектрису TA. оказалось ,что угол SAT равен 111°. найдите угол TSC

Решение:

• Пусть α = ∠STC = ∠TCS — основания треугольника STC (тогда треугольник равнобедрен с основанием TC).

• TA — биссектриса угла T, значит ∠STA = ∠ATC = α/2.

• Так как A лежит на стороне SC, рассмотрим треугольник ACT. В нём:

  • ∠ACT = ∠SCT = α (CA лежит на CS);
  • ∠ATC = α/2 (биссектриса).

  Следовательно ∠CAT = 180° − α − α/2 = 180° − 3α/2.

• Так как SA и CA лежат на одной прямой SC и противоположны, углы ∠SAT и ∠CAT supplementary: ∠SAT = 180° − ∠CAT = 3α/2.

• По условию ∠SAT = 111°, значит 3α/2 = 111° → α = 74°.

• Угол при вершине S: ∠TSC = 180° − 2α = 180° − 148° = 32°.

Ответ: угол TSC равен 32°.