На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AM и BN пересекаются в точке Q . Найдите отношения AQ:QM и BQ:QN , если BM:MC=3:2 и CN:ND=5:1 .

Задача решается удобнее всего в афинной системе координат. Поскольку афинные преобразования сохраняют отношения деления на отрезках вдоль одной прямой, можно без потери общности принять параллелограмм ABCD равнобедренный квадрат: A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1).

1. Найдем точки M и N

• BM:MC = 3:2 по BC. BC идет от B(1,0) до C(1,1), т. е. по оси y. Длина BC = 1, отсюда BM = 3/5 от BC, поэтому M = (1, 3/5).
• CN:ND = 5:1 по CD. CD идёт от C(1,1) до D(0,1) вдоль оси x. CN = 5/6 от CD, значит x_N = 1 - 5/6 = 1/6, y_N = 1. Поэтому N = (1/6, 1).

2. Уравнения прямых AM и BN

• AM: через A(0,0) и M(1, 3/5). Параметризация: AM(t) = (t, (3/5)t), где t ∈ [0,1].
• BN: через B(1,0) и N(1/6, 1). Вектор NM? Но удобнее записать как B + u(N − B): N − B = (1/6 − 1, 1 − 0) = (−5/6, 1). BN(u) = (1 − (5/6)u, u), где u ∈ [0,1].

3. Найдем точку пересечения Q Равняем координаты AM(t) и BN(u):

• x: t = 1 − (5/6)u
• y: (3/5)t = u

Из второго уравнения: u = (3/5)t. Подставим в первое: t = 1 − (5/6)·(3/5)t = 1 − (3/6)t = 1 − (1/2)t. t + (1/2)t = 1 ⇒ (3/2)t = 1 ⇒ t = 2/3. Тогда u = (3/5)·(2/3) = 2/5.

4. Отношения AQ:QM и BQ:QN

• Так как Q лежит на AM и t = AQ/AM, имеем AQ:QM = t : (1 − t) = (2/3) : (1/3) = 2:1.
• Так как Q лежит на BN и u = BQ/BN, имеем BQ:QN = u : (1 − u) = (2/5) : (3/5) = 2:3.

Ответ:

• AQ:QM = 2:1
• BQ:QN = 2:3