Есть холм, вершина которого находится ровно посередине холма. Общая длина пути по холму — 2 мили, соответственно, чтобы доехать до середины, нужно проехать одну милю, и столько…

Решение (пошагово):

1. Расстояния и скорости

• Вверх по холму: расстояние 1 миля, скорость 15 mph.
• Вниз: расстояние 1 миля, скорость v mph (неизвестна).

2. Время подъема

• Время подъема t_up = расстояние / скорость = 1 / 15 часов = 1/15 h = 4 минуты.

3. Время спуска

• Время спуска t_down = 1 / v часов.

4. Общее время и средняя скорость

• Общее время движения по всему холму: t_total = t_up + t_down = 1/15 + 1/v часов.
• Общая пройденная дистанция: 2 мили.
• Средняя скорость по всему маршруту: V_avg = общая дистанция / общее время = 2 / (1/15 + 1/v).

5. Требование: V_avg = 30 mph

• 2 / (1/15 + 1/v) = 30
• Обратно: 1 / (1/15 + 1/v) = 15
• Значит 1/15 + 1/v = 1/15
• Следовательно 1/v = 0 → v = бесконечно большая скорость.

6. Вывод

• Никакой конечной скорости спуска не существует, которая дала бы среднюю скорость 30 mph по всему холму.
• Максимальная возможная средняя скорость достигается в пределе, когда время спуска стремится к нулю (то есть при бесконечно большой скорости спуска). В этом пределе V_avg → 30 mph.
• Таким образом, для точного достижения 30 mph требуется бесконечно большая скорость спуска; при любой конечной скорости средняя скорость будет меньше 30 mph.

Дополнительная заметка (для интуиции):

• Для двух равных участков со скоростями s1 и s2 средняя скорость по обоим участкам равна гармоническому среднему: V_avg = 2 s1 s2 / (s1 + s2). Подставляя s1 = 15, s2 = v и V_avg = 30, получаем противоречие, что подтвердит вышеописанный вывод: finite v не даст V_avg = 30.