Есть холм, вершина которого находится ровно посередине холма. Общая длина пути по холму — 2 мили, соответственно, чтобы доехать до середины, нужно проехать одну милю, и столько же, чтобы спуститься. У подножия холма есть машина, которая поднимается на холм и доезжает ровно до середины с постоянной скоростью — 15 миль в час. С какой скоростью машине нужно съезжать с холма, чтобы средняя скорость движения по всему холму составила 30 миль в час?

Решение (пошагово): 1) Расстояния и скорости - Вверх по холму: расстояние 1 миля, скорость 15 mph. - Вниз: расстояние 1 миля, скорость v mph (неизвестна). 2) Время подъема - Время подъема t_up = расстояние / скорость = 1 / 15 часов = 1/15 h = 4 минуты. 3) Время спуска - Время спуска t_down = 1 / v часов. 4) Общее время и средняя скорость - Общее время движения по всему холму: t_total = t_up + t_down = 1/15 + 1/v часов. - Общая пройденная дистанция: 2 мили. - Средняя скорость по всему маршруту: V_avg = общая дистанция / общее время = 2 / (1/15 + 1/v). 5) Требование: V_avg = 30 mph - 2 / (1/15 + 1/v) = 30 - Обратно: 1 / (1/15 + 1/v) = 15 - Значит 1/15 + 1/v = 1/15 - Следовательно 1/v = 0 → v = бесконечно большая скорость. 6) Вывод - Никакой конечной скорости спуска не существует, которая дала бы среднюю скорость 30 mph по всему холму. - Максимальная возможная средняя скорость достигается в пределе, когда время спуска стремится к нулю (то есть при бесконечно большой скорости спуска). В этом пределе V_avg → 30 mph. - Таким образом, для точного достижения 30 mph требуется бесконечно большая скорость спуска; при любой конечной скорости средняя скорость будет меньше 30 mph. Дополнительная заметка (для интуиции): - Для двух равных участков со скоростями s1 и s2 средняя скорость по обоим участкам равна гармоническому среднему: V_avg = 2 s1 s2 / (s1 + s2). Подставляя s1 = 15, s2 = v и V_avg = 30, получаем противоречие, что подтвердит вышеописанный вывод: finite v не даст V_avg = 30.