1) (2x+1)(x-3)(x² + 4) < 0; 2) (2-x) (3x+5) (x² - x + 1) > 0; 3) (2x+1)2(x²-4x + 3) > 0. решите неравенство

Ниже приводжу подробные пошаговые решения для каждого неравенства.

Общие методики:

• Признаки множителей при некоторой точке x определяют знак произведения.
• Где есть квадратичный множитель без действительных корней, он обычно сохраняет знак для всех x (если дискриминант < 0) и его влияние можно учесть по знаку других множителей.
• В конце выписываем интервалы, на которых произведение меньше/больше нуля, исключая точки нулей факторов.

1. (2x+1)(x-3)(x² + 4) < 0

• Заметим: x² + 4 > 0 для всех x (никогда не равна нулю и положительна).
• Поэтому знаки продукта зависят только от (2x+1)(x-3).
• Корни: x = -1/2 и x = 3. Разбиваем по этим точкам.
• Проверка знаков:
  • x < -1/2: (2x+1) < 0, (x-3) < 0 → произведение > 0.
  • -1/2 < x < 3: (2x+1) > 0, (x-3) < 0 → произведение < 0.
  • x > 3: (2x+1) > 0, (x-3) > 0 → произведение > 0.
• Неравенство strict < 0 выполняется на (-1/2, 3).
• Ответ: x ∈ (-1/2, 3).

2. (2 - x)(3x+5)(x² - x + 1) > 0

• x² - x + 1: дискриминант D = 1 - 4 = -3 < 0, значит выражение положительно для всех x. Можно отбросить этот фактор при анализе знака.
• Остальные два множителя: (2 - x) и (3x + 5).
  • 2 - x = 0 при x = 2; положителен при x < 2, отрицателен при x > 2.
  • 3x + 5 = 0 при x = -5/3; положителен при x > -5/3, отрицателен при x < -5/3.
• Решаем знак (2 - x)(3x + 5) > 0. Разбиваем по корням x = -5/3 и x = 2.
  • x < -5/3: (2 - x) > 0, (3x + 5) < 0 → отрицательно.
  • -5/3 < x < 2: (2 - x) > 0, (3x + 5) > 0 → положительно.
  • x > 2: (2 - x) < 0, (3x + 5) > 0 → отрицательно.
• Нужно > 0, значит выбираем (-5/3, 2). Внутри этот интервал без учёта нулей (конечные точки исключаются).
• Ответ: x ∈ (-5/3, 2).

3. (2x+1)2(x² - 4x + 3) > 0

• Здесь 2 – просто числовой множитель, положительный, поэтому не влияет на знак. Можно переписать как (2x+1)(x² - 4x + 3) > 0.
• Раскроем x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3).
• Получаем произведение трех линейных множителей: (2x+1)(x - 1)(x - 3) > 0.
• Корни: x = -1/2, x = 1, x = 3. Разбиваем по ним: (-∞, -1/2), (-1/2, 1), (1, 3), (3, ∞).
• Знаки в интервалах (проверяем по одному тестовому значению в каждом):
  • x = -1: (-) для (2x+1), (-) для (x-1), (-) для (x-3) → произведение (-)(-)(-) = negative. Не подходит.
  • x = 0: (+) для (2x+1), (-) для (x-1), (-) для (x-3) → (+)(-)(-) = positive. Подходит.
  • x = 2: (+) для (2x+1), (+) для (x-1), (-) для (x-3) → (+)(+)(-) = negative. Не подходит.
  • x = 4: (+) для всех → positive. Подходит.
• Неравенство строго > 0 значит исключаем нули: x ≠ -1/2, 1, 3.
• Ответ: x ∈ (-1/2, 1) ∪ (3, ∞).

Итоговые решения:

• 1. x ∈ (-1/2, 3)
• 2. x ∈ (-5/3, 2)
• 3. x ∈ (-1/2, 1) ∪ (3, ∞)