Дан параллелограм диагонали которого пересекаются в точке о. постройте фигуру , в которую при гомотетии с центром о переходит данный паралеллограм, если коэфицент гомотетии 0,5

Задача: есть параллелограмм ABCD, диагонали пересекаются в точке O. Подстроить фигуру под гомотетию с центром O и коэффициентом 0,5. Какая фигура получится? Коротко: под гомотетией с центром O и коэффициентом 0,5 каждую точку P параллелограмма переводим в точку P' на луче OP так, что OP' = 0,5·OP. В результате получится новый параллелограмм A'B'C'D', который подобен исходному и в 2 раза меньше. Его вершины лежат на лучах OA, OB, OC, OD на расстоянии половины от O до соответствующих вершин A, B, C, D. Пошаговое решение (как построить на глазах или карандашом): 1) Определите точку O — пересечение диагоналей AC и BD. Это центр гомотетии. 2) Для каждой вершины исходного параллелограмма проведите луч от центра O к ней: - луч OA: на нем найдите точку A' так, чтобы OA' = 0,5·OA; - луч OB: найдите точку B' так, чтобы OB' = 0,5·OB; - луч OC: найдите точку C' так, чтобы OC' = 0,5·OC; - луч OD: найдите точку D' так, чтобы OD' = 0,5·OD. 3) Соедините новые точки A', B', C', D' последовательностью A'B'C'D'. Это и есть образ параллелограмма после гомотетии. Почему это так: - Гомотетия с центром O и коэффициентом 0,5 масштабирует все расстояния от O в 2 раза: каждую сторону параллелограмма сохраняет направление, её образ параллелен исходной стороне и имеет вдвое меньшую длину. Поэтому AB ∥ A'B', BC ∥ B'C', и так далее. - Так как O остается фиксированной точкой гомотетии, новая диагональ образует пересечение в той же точке O (потому что O — образ самой себя). - В результате мы получаем параллелограмм A'B'C'D' того же направления сторон, но в два раза меньше по линейным размерам и с центром пересечения диагоналей в O. Дополнительная поясняющая заметка: - Если удобно работать координатно: пусть O – начало координат. Пусть координаты вершин исходного параллелограмма A(x1,y1), B(x2,y2), C(x1+x2−x0, y1+y2−y0) и D соответствуют параллелограмме. Под гомотетией коэффициент 0,5 образуются A'(x1/2, y1/2), B'(x2/2, y2/2), C'(x1+x2/2, y1+y2/2) и D'(x1+x2/2, y1+y2/2). Легко проверить, что A'B'C'D' — параллелограмм, и его стороны параллельны исходным. - Размер нового параллелограмма вдвое меньше исходного по каждой стороне. Ответ: изображение параллелограмма под гомотетией с центром O и коэффициентом 0,5 — это параллелограмм A'B'C'D' с вершинами на лучах OA, OB, OC, OD на расстояниях OA' = OA/2, OB' = OB/2, OC' = OC/2, OD' = OD/2. Он подобен исходному параллелограмму и вдвое меньше по линейным размерам; диагонали пересекаются в той же точке O.