В трапеции ABCD с основаниями AD и BC, AD>BC, перпендикулярны диагонали. Известно, что ∠BDA=30∘ и AC=7 . Найдите среднюю линию трапеции. 8 класс

Задача (8 класс): В трапеции ABCD основания AD и BC, AD > BC, диагонали AC и BD перпендикулярны. Известно ∠BDA = 30° и AC = 7. Найдите среднюю линию трапеции (то есть полусумму длин оснований). Пояснение и решение по шагам: 1) Введём координаты. - Пусть A = (0, 0), D = (a, 0), где a = длина основания AD. - Пусть верхнее основание BC имеет длину b = BC, на высоте h: B = (x, h), C = (x + b, h). - Тогда AD = a, BC = b, и a > b. 2) Условия про диагонали. - Диагонали AC и BD перпендикулярны: угол между ними 90°. - Это даёт условие перпендикулярности: наклоны AC и BD умножаются на −1, т.е. slope(AC) · slope(BD) = −1. - Считаем наклоны: slope(AC) = h / (x + b), slope(BD) = (0 − h) / (a − x) = −h / (a − x). - Произведение даёт: (h / (x + b)) · (−h / (a − x)) = −1, значит h^2 = (x + b)(a − x). 3) Условие на угол ∠BDA = 30°. - Вектор DA = A − D = (−a, 0), вектор DB = B − D = (x − a, h). - Косинус угла между DA и DB: cos ∠BDA = (DA · DB) / (|DA||DB|) = [−a(x − a)] / [a√((x − a)^2 + h^2)] = (a − x) / √((a − x)^2 + h^2). - Пусть t = a − x > 0. Тогда cos 30° = √3/2 = t / √(t^2 + h^2). - Из этого следует: t^2 = 3h^2, то есть h^2 = t^2/3. 4) Совместим условия для диагоналей. - Из шага 2: h^2 = (x + b)(a − x) = (a − t)(x + b). - Но x = a − t, значит x + b = a − t + b = (a + b) − t. Обозначим S = a + b (сумма оснований). - Тогда h^2 = t [ S − t ]. - Совместим с прошлым: t^2/3 = t(S − t). Делим на t > 0: t/3 = S − t. - Следовательно S = t/3 + t = (4/3) t, значит t = (3/4) S. 5) Найдём AC через S. - Координаты C: (x + b, h) = (S − t, h) = (S − (3/4)S, h) = (S/4, h). - Длина AC: AC^2 = (S/4)^2 + h^2. - Здесь h^2 = t^2/3 = [ (3/4)S ]^2 / 3 = (9/16)S^2 / 3 = (3/16)S^2. - Значит AC^2 = S^2/16 + 3S^2/16 = 4S^2/16 = S^2/4. 6) Используем данное AC = 7. - AC^2 = 49 = S^2/4 → S^2 = 196 → S = 14 (длина основания неотрицательна, поэтому берём положительное значение). 7) Средняя линия трапеции. - Средняя линия равна половине суммы оснований: m = (AD + BC)/2 = S/2 = 14/2 = 7. Ответ: середняя линия трапеции имеет длину 7. Примечание: в таких условиях AC оказывается равной средней линии.