Бревно 12 м можно уравновесить в горизонтальном положении на подставке, отстоящей на расстоянии 3м от его толстого конца. Если же подставка находится посередине и на тонкий конец…

Решение

Задача трактуется как момент (вращательный момент) about опорной точки (подставки).

1. Обозначения и допущения

• Длина бревна L = 12 м.
• Толстый конец расположен слева, тонкий – справа.
• Пусть ось x идет вдоль бревна от толстого конца к тонкому. Тогда x = 0 у толстого конца, x = 12 у тонкого конца.
• Масса бревна — m (является неизвестной). Гравитационная сила — W = m g, действует в точке, где находится центр тяжести бревна.
• В первом случае опора (подставка) находится на расстоянии 3 м от толстого конца, т.е. точка опоры A находится в x = 3.
• Во втором случае опора находится посередине бревна, т.е. точка опоры A’ находится в x = 6.
• Важно: первое условие баланса означает, что центр тяжести бревна совпадает с точкой опоры (или же момент, создаваемый весом, равен нулю). Это позволяет заключить, что центр тяжести бревна расположен в x = 3 м (для случая с подставкой в 3 м от толстого конца).

2. Опора в 3 м от толстого конца (A: x = 3) Чтобы бревно держалось горизонтально без дополнительной массы, суммарный момент обнулиться не обязательно по этому условию, но по условию задачи именно так трактуется: центр тяжести находится в точке опоры. Следовательно, центр тяжести расположен в x_G = 3 м.

Из этого следует, что масса бревна m неизвестна, но момент вокруг точки опоры для веса m g равен нулю (центр тяжести на опоре). Это и есть условие равновесия в этом случае.

3. Опора в середине (A’: x = 6) и груз 60 кг на тонком конце (x = 12) Для равновесия суммы моментов вокруг опоры надо, чтобы веса слева и справа создавали компенсацию.

• Центр тяжести бревна находится в x_G = 3 м (из условия п.2). Расстояние от опоры до центра тяжести: d_left = x_A’ − x_G = 6 − 3 = 3 м (мера влево).

• Груз массой 60 кг размещён на тонком конце, то есть в x = 12. Расстояние от опоры до места приложения груза: d_right = x_Guest? Нет, до тонкого конца: d_turn = x_end − x_A’ = 12 − 6 = 6 м (мера вправо).

Моменты (переведём в величины, как будто положим против часовой как положительное):

• Момент от собственного веса бревна about опора A’: M_brev = m g · d_left = m g · 3.
• Момент от груза 60 кг about опора A’: M_60 = 60 g · d_right = 60 g · 6.

Для равновесия M_brev = M_60. Гравиентная ускорение g не равно нулю, его можно вынести и сократить:

m g · 3 = 60 g · 6 => m · 3 = 60 · 6 => m = (60 · 6) / 3 = 60 · 2 = 120 кг.

Ответ: масса бревна равна 120 кг.