Маленький шарик, подвешенный на нити, движущийся в поле силы тяжести по окружности так, что нить составляет с вертикалью постоянный угол f=30 градусов. Другой такой же шарик,…
Маленький шарик, подвешенный на нити, движущийся в поле силы тяжести по окружности так, что нить составляет с вертикалью постоянный угол f=30 градусов. Другой такой же шарик, подвешенный на нити такой же длины, движется так, что нить составляет с вертикалью постоянный угол j=45 градусов. Определить, во сколько раз кинетическая энергия второго шарика превышает кинетическую энергию первого.
Решение (для конусного маятника, общий подход для средней школы):
- Для конусного маятника:
- горизонтальная компонента силы натяжения обеспечивает центростремительное ускорение: T sin θ = m ω^2 r, где r = L sin θ.
- вертикальное равновесие по оси вертикали: T cos θ = m g.
- Найдём угловую скорость ω: Из T cos θ = m g получаем T = m g / cos θ. Подставим в T sin θ = m ω^2 r: (m g / cos θ) sin θ = m ω^2 (L sin θ).
Сократим m и sin θ (для θ ≠ 0): ω^2 = g / (L cos θ).
Скорость точки движения: v = ω r = ω (L sin θ). Тогда v^2 = ω^2 L^2 sin^2 θ = (g / (L cos θ)) L^2 sin^2 θ = g L (sin^2 θ) / cos θ.
Кинетическая энергия: KE = (1/2) m v^2. Значит KE пропорциональна sin^2 θ / cos θ (для одних и тех же m и L).
Подставим данные углы:
- θ1 = f = 30°: sin^2 30° = (1/2)^2 = 1/4, cos 30° = √3/2. KE1 ∝ (1/4) / (√3/2) = 1 / (2√3).
- θ2 = j = 45°: sin^2 45° = (√2/2)^2 = 1/2, cos 45° = √2/2. KE2 ∝ (1/2) / (√2/2) = 1 / √2.
- Соотношение кинетических энергий: KE2 / KE1 = (1/√2) / (1/(2√3)) = (1/√2) · (2√3) = 2√(3/2) = √6 ≈ 2.45.
Ответ: второй шарик имеет кинетическую энергию, равную √6 ≈ 2,45 раза большую, чем у первого.
