уравнения

Задача подходит под разбор тригонометрического уравнения. Рассмотрим конкретную форму, которая видна на изображении: sin x = -√2/2. Ниже — детальное решение.

Цель и подход

• Найти все x, для которых синус принимает значение -√2/2.
• Использовать опорный угол и единичную окружность.

Шаги решения

1. Опорный угол

• |sin α| = √2/2. Из известной таблички синуса: α = π/4 (или 45°).

2. В каких квадрантах синус отрицателен

• Синус отрицателен в III и IV квадрантах. Значит искомые углы лежат в этих квадрантах.

3. Найти решения в интервале [0, 2π)

• В III квадранте: x = π + α = π + π/4 = 5π/4.
• В IV квадранте: x = 2π - α = 2π - π/4 = 7π/4.

4. Общий вид решений

• Любые решения можно записать как две бесконечные последовательности с периодом 2π:
  • x = 5π/4 + 2πk
  • x = 7π/4 + 2πk где k ∈ Z.

5. Эквивалент в градусах

• x = 225° + 360°k
• x = 315° + 360°k где k ∈ Z.

6. Проверка

• sin(225°) = sin(180°+45°) = -sin(45°) = -√2/2.
• sin(315°) = sin(360°-45°) = -sin(45°) = -√2/2. Оба значения верны, значит решения найдены правильно.

Дополнительно

• Если бы правая часть была положительной, например sin x = √2/2, то решения в [0, 2π): x = π/4 и x = 3π/4; общие решения: x = π/4 + 2πk и x = 3π/4 + 2πk.
• Общий метод: по модулю значения берём опорный угол α = arcsin(|value|), затем для отрицательного value ищем углы в III и IV квадрантах, источая x = π + α и x = 2π - α (или аналогично, применяя формулы x = α + 2πk, x = π - α + 2πk для положительного value).

Итог

• Для sin x = -√2/2: x = 5π/4 + 2πk или x = 7π/4 + 2πk, k ∈ Z. Аналогично в градусах: x = 225° + 360°k или x = 315° + 360°k.