Уравнения

Задача подходит под разбор тригонометрического уравнения. Рассмотрим конкретную форму, которая видна на изображении: sin x = -√2/2. Ниже — детальное решение. Цель и подход - Найти все x, для которых синус принимает значение -√2/2. - Использовать опорный угол и единичную окружность. Шаги решения 1) Опорный угол - |sin α| = √2/2. Из известной таблички синуса: α = π/4 (или 45°). 2) В каких квадрантах синус отрицателен - Синус отрицателен в III и IV квадрантах. Значит искомые углы лежат в этих квадрантах. 3) Найти решения в интервале [0, 2π) - В III квадранте: x = π + α = π + π/4 = 5π/4. - В IV квадранте: x = 2π - α = 2π - π/4 = 7π/4. 4) Общий вид решений - Любые решения можно записать как две бесконечные последовательности с периодом 2π: - x = 5π/4 + 2πk - x = 7π/4 + 2πk где k ∈ Z. 5) Эквивалент в градусах - x = 225° + 360°k - x = 315° + 360°k где k ∈ Z. 6) Проверка - sin(225°) = sin(180°+45°) = -sin(45°) = -√2/2. - sin(315°) = sin(360°-45°) = -sin(45°) = -√2/2. Оба значения верны, значит решения найдены правильно. Дополнительно - Если бы правая часть была положительной, например sin x = √2/2, то решения в [0, 2π): x = π/4 и x = 3π/4; общие решения: x = π/4 + 2πk и x = 3π/4 + 2πk. - Общий метод: по модулю значения берём опорный угол α = arcsin(|value|), затем для отрицательного value ищем углы в III и IV квадрантах, источая x = π + α и x = 2π - α (или аналогично, применяя формулы x = α + 2πk, x = π - α + 2πk для положительного value). Итог - Для sin x = -√2/2: x = 5π/4 + 2πk или x = 7π/4 + 2πk, k ∈ Z. Аналогично в градусах: x = 225° + 360°k или x = 315° + 360°k.