Через пересечения догоналей поролеллограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стораны AD и BC соответственно в точках E и F. Найдите стораны пралеллограмма ABCD, если его…

Задача предполагает, что прямая проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма (центр фигуры) и пересекает стороны AD в E и BC в F. Обозначим стороны параллелограмма так: AB = x, BC = y. Тогда периметр P = 2(x + y) = 28 см, значит x + y = 14.

Ставим координатную систему:

• A = (0, 0), B = (x, 0), D = (0, y), C = (x, y).
• Точка E лежит на AD на расстоянии AE = 5 от A, значит E = (0, 5).
• Точка F лежит на BC на расстоянии BF = 3 от B, значит F = (x, 3).

ライン EF проходит через центр O параллелограмма, точку пересечения диагоналей, которая равна середине как AC, так и BD, то есть O = (x/2, y/2).

Уравнение прямой EF: через E(0, 5) и F(x, 3).

• Укладываем наклон: m = (3 − 5) / (x − 0) = −2/x.
• Уравнение EF: y − 5 = m(x − 0) ⇒ y = 5 − (2/x)x = 5 − 2x/x = 5 − 2/x · X (где X — переменная по оси X).

Так как O лежит на EF, его координаты удовлетворяют этому уравнению:

• y/2 = 5 − (2/x) · (x/2) = 5 − 1 = 4. Отсюда y/2 = 4 ⇒ y = 8.

Теперь из условия периметра x + y = 14 получаем:

• x = 14 − y = 14 − 8 = 6.

Ответ:

• AB = x = 6 см,
• BC = y = 8 см.

Проверка: периметр 2(6 + 8) = 28 см, центр параллелограмма действительно лежит на EF, координаты центра O = (3, 4) удовлетворяют уравнению линии EF: на X = 3, y = 5 − (2/6)·3 = 5 − 1 = 4. Всё согласуется.