. В равностороннем треугольнике АВС АВ = 2. Отрезок BD перпендикулярен плоскости треугольника и равен √6. Найдите площадь треугольника ADC.

Задача: В равностороннем треугольнике ABC со стороной AB = 2 точка D лежит над плоскостью треугольника так, что BD перпендикулярна плоскости и BD = √6. Найти площадь треугольника ADC.

Пояснение по шагам

1. Установим удобную систему координат

• Поместим треугольник ABC в плоскость z = 0.
• Пусть A = (0, 0, 0), B = (2, 0, 0). Так как ABC равносторонний и AB = 2, третью вершину можно выбрать как C = (1, √3, 0). Тогда:
  • AB = distance(A, B) = 2
  • AC = distance(A, C) = √[(1−0)² + (√3−0)²] = √(1+3) = 2
  • BC = distance(B, C) = √[(1−2)² + (√3−0)²] = √(1+3) = 2 Это корректно задаёт равносторонний треугольник.

2. Положение точки D

• BD перпендикулярна плоскости ABC (плоскость z = 0), значит D лежит на нормали к плоскости через точку B.
• Нормаль к плоскости z = 0 направлена вдоль оси z. Следовательно, D имеет координаты D = (2, 0, h), где h = ±√6. Возьмём верхний вариант: D = (2, 0, √6). (Положение ниже даст тот же ответ по модулю площади.)

3. Нужно найти площадь треугольника ADC

• Для треугольника ADC площадь равна половине модуля векторного произведения двух сторонами исходя из A: площадь(ADC) = 1/2 |AD × AC|.
• Быстро зададим векторные составляющие: AD = D − A = (2, 0, √6), AC = C − A = (1, √3, 0).

4. Вычислим векторное произведение AD × AC AD × AC = |i j k| |2 0 √6| |1 √3 0|

= (0·0 − √6·√3, −(2·0 − √6·1), 2·√3 − 0·1) = (−√18, √6, 2√3) = (−3√2, √6, 2√3).

5. Найдём норму векторного произведения |AD × AC|² = (−3√2)² + (√6)² + (2√3)² = 18 + 6 + 12 = 36. Следовательно, |AD × AC| = 6.

6. Найдём площадь Площадь ADC = 1/2 · |AD × AC| = 1/2 · 6 = 3.

Ответ: площадь треугольника ADC равна 3 (квадратных единиц).