В четырёхугольнике MLNK LK=MN и ML=NK, угол LKM=60°, угол LKN=22°. Найдите угол NMK

Ответ: угол NMK равен 60°. Пошаговое решение 1) Введение координат и ориентировка углов - Пусть точка K будет в начале координат, а KM на оси x положительного направления. Обозначим длины: KM = a, KL = b, KN = c. - Так как ∠MKL = 60°, направление KL относительно KM под углом 60°. Значит точку L можно записать как L = (b cos60°, b sin60°) = (b/2, (√3/2) b). - Так как ∠LKN = 22°, направление KN относительно KM составляет 60° + 22° = 82°. Значит N = (c cos82°, c sin82°). Итого: - K = (0, 0) - M = (a, 0) - L = (b/2, (√3/2) b) - N = (c cos82°, c sin82°) 2) Заданные условия в виде равенств длин - LK = MN. Длина LK равна b. Длина MN равна sqrt((a − c cos82°)^2 + (c sin82°)^2). Следовательно: b^2 = (a − c cos82°)^2 + (c sin82°)^2 = a^2 − 2a c cos82° + c^2 (так как cos^2 82° + sin^2 82° = 1). - ML = NK. NK = c. ML = sqrt((a − b/2)^2 + ((√3/2) b)^2). Значит: c^2 = (a − b/2)^2 + (3/4) b^2 = a^2 − a b + b^2. 3) Упрощение и ключевые соотношения Из двух полученных равенств - c^2 = a^2 − a b + b^2 (1) - b^2 = a^2 − 2a c cos82° + c^2 (2) Вычтем (1) из (2): b^2 − c^2 = (a^2 − 2a c cos82°) − (a^2 − a b + b^2) = −2a c cos82° + a b − b^2 Но левую часть можно переписать как (b^2 − c^2), поэтому после упрощений получаем 0 = 2 a^2 − a b − 2 a c cos82° и, если a ≠ 0, имеем b = 2a − 2c cos82° = 2(a − c cos82°). Отсюда: a − c cos82° = b/2. (3) 4) Выражение уголa NMK через векторы Угол NMK — это угол между векторами MN и MK, при вершине M. Косинус этого угла: cos ∠NMK = (MN · MK) / (|MN| |MK|) MN = N − M = (c cos82° − a, c sin82°) MK = K − M = (−a, 0) Тогда MN · MK = (c cos82° − a)(−a) + (c sin82°)(0) = a(a − c cos82°) |MN| = MN = b, |MK| = a Отсюда cos ∠NMK = (a − c cos82°) / b = (b/2) / b = 1/2 (по (3)). 5) Использование условия LK = MN Из LK = MN имеем b^2 = (a − c cos82°)^2 + (c sin82°)^2. Так как (a − c cos82°) = b/2, получаем (b/2)^2 + (c sin82°)^2 = b^2 ⇒ (c sin82°)^2 = b^2 − b^2/4 = 3b^2/4 ⇒ c sin82° = (√3/2) b. Это не противоречит предыдущим выводам и подтверждает полученное значение косинуса. 6) Вывод cos ∠NMK = 1/2, значит ∠NMK = 60°. Ответ: угол NMK равен 60°.