На диафрагму с круглым отверстием диаметром 2 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны 0,5 мкм. При каком наибольшем расстоянии между диафрагмой и экраном в центре дифракционной картины будет тёмное пятно?

Коротко: для круглого отверстия диафрагмы центр дифракционной картины всегда яркий. Тёмное пятно в центре не наблюдается ни при каком конечном расстоянии между диафрагмой и экраном. Поэтому понятие «наибольшего расстояния, при котором в центре будет тёмное пятно» не имеет смысла. Ниже пояснение и полезная связанная часть задачи — расстояние до первого темного кольца. Разбор задачи 1) Формула распределения интенсивности для Фрауневой дифракции круглого отверстия - Угол наклона к оси θ: интенсивность I(θ) пропорциональна [2 J1(β)/β]^2, где J1 — Bessel’ь функция, β = (π D sin θ)/λ, D — диаметр отверстия, λ — длина волны. - На оси θ = 0 (центр картины) β = 0, и предел дает I(0) максимален. Поэтому центр — яркий максимум, а не тёмное пятно. 2) Первая тёмная окружность (первое нулевое крыло) - Первая нулевая точка интенсивности наступает при J1(β) = 0. Первое нулевое значение β1 ≈ 3.8317. - Для малых углов sin θ ≈ θ, поэтому θ1 ≈ β1 / (π D/λ) = 1.22 λ / D. - Линейное расстояние от центра до первого темного кольца на экране равно y1 ≈ L tan θ1 ≈ L θ1 ≈ 1.22 λ L / D, где L — расстояние от диафрагмы до экрана. 3) Числовые подстановки - Диаметр отверстия D = 2 мм = 2 × 10^−3 м - Длина волны λ = 0,5 мкм = 5 × 10^−7 м - Тогда θ1 ≈ 1.22 × (5 × 10^−7) / (2 × 10^−3) ≈ 3.05 × 10^−4 рад - Линейное положение первого темного кольца: y1 ≈ L × 3.05 × 10^−4 м Пример: если L = 1 м, то y1 ≈ 0.305 мм; при L = 2 м — ≈ 0.61 мм и т.д. 4) Ответ на поставленный вопрос - В центре дифракционной картины темного пятна не будет ни при каком конечном L. Центр остаётся ярким максимумом. - Следовательно, «наибольшее расстояние между диафрагмой и экраном, при котором в центре будет тёмное пятно» не существует. Можно лишь определить расстояние до первого темного кольца в зависимости от L по формуле y1 ≈ 1.22 λ L / D. Итого: центр дифракционной картины для круглого отверстия всегда яркий. Чтобы узнать, где будет первый тёмный кольцевой минимум, используйте y1 ≈ 1.22 λ L / D; для данных λ = 0.5 μм и D = 2 мм это даёт y1 ≈ 3.05 × 10^−4 × L (м).