Постройте точки F(3;3); M(5;3); N(5;5); K(3;5) и вычислите площадь получившейся фигуры. За единицу измерения примите единичный отрезок равный одной клеточки.

Задача: точки F(3;3), M(5;3), N(5;5), K(3;5). Найти площадь получившейся фигуры.

Пошаговое решение

1. Заметим, что координаты даны в последовательности F → M → N → K, образуя замкнутый контур.

2. Найдем длины сторон:

• FM: FM = sqrt((5-3)^2 + (3-3)^2) = sqrt(4) = 2
• MN: MN = sqrt((5-5)^2 + (5-3)^2) = sqrt(4) = 2
• NK: NK = sqrt((3-5)^2 + (5-5)^2) = sqrt(4) = 2
• KF: KF = sqrt((3-3)^2 + (3-5)^2) = sqrt(4) = 2

Все стороны равны по 2 единицам.

3. Проверим угол между соседними сторонами FM и MN:

• вектор FM = (2, 0)
• вектор MN = (0, 2) Их скалярное произведение: 2·0 + 0·2 = 0, значит угол между ними прямой (90°). Значит фигура — квадрат (так как все стороны равны и противоположные стороны параллельны, но достаточно наличия одного прямого угла для квадрата).

4. Площадь:

• Поскольку фигура — квадрат со стороной 2 клетки, площадь S = 2^2 = 4 квадратных единицы.
• Альтернативно по формуле Шоэла: S = 1/2 |x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1 − (y1x2 + y2x3 + y3x4 + y4x1)| Для F(3,3), M(5,3), N(5,5), K(3,5): = 1/2 |3·3 + 5·5 + 5·5 + 3·3 − (3·5 + 3·5 + 5·3 + 5·3)| = 1/2 |9 + 25 + 25 + 9 − (15 + 15 + 15 + 15)| = 1/2 |68 − 60| = 1/2 · 8 = 4.

Ответ: площадь фигуры равна 4 квадратных единицы (4 клетки). Фигура представляет собой квадрат со стороной 2 клетки.