Найди площадь грани А1 А2 А3 в треугольной пирамиде А1 А2 АЗ А4, если А1 (-1; 0; 6), A2 (5; 3; -4), A3 (-2, 1,-3)
Цель: понять решение по шагам.
Дано: треугольная грань A1A2A3 треугольной пирамиды A1A2A3A4, где A1 = (-1, 0, 6), A2 = (5, 3, -4), A3 = (-2, 1, -3). A4 координаты не заданы и не влияют на площадь этой грани.
- Векторы на стороне грани
- AB = A2 − A1 = (5 - (-1), 3 - 0, -4 - 6) = (6, 3, -10)
- AC = A3 − A1 = (-2 - (-1), 1 - 0, -3 - 6) = (-1, 1, -9)
Площадь треугольника через векторное произведение Площадь треугольника A1A2A3 = 1/2 |AB × AC|.
Вычислим векторное произведение AB × AC AB × AC = (AB_y·AC_z − AB_z·AC_y, AB_z·AC_x − AB_x·AC_z, AB_x·AC_y − AB_y·AC_x) = (3·(-9) − (-10)·1, (-10)·(-1) − 6·(-9), 6·1 − 3·(-1)) = (-27 + 10, 10 + 54, 6 + 3) = (-17, 64, 9)
Модуль векторного произведения |AB × AC| = √((-17)^2 + 64^2 + 9^2) = √(289 + 4096 + 81) = √4466
Площадь S = 1/2 · |AB × AC| = √4466 / 2
Численно: √4466 ≈ 66.828, поэтому S ≈ 66.828 / 2 ≈ 33.41 единиц площади.
Итого: площадь грани A1A2A3 равна √4466/2 ≈ 33.41.
