Решить графические уравнения: х²-3х-1=-3/х

Цель: понятное подробное решение с проверкой.

Задача: решить уравнение x^2 - 3x - 1 = -3/x, при этом x ≠ 0 (поскольку в правой части стоит дробь на x).

Пошаговое решение

1. Умножим обе стороны на x (помним, что x ≠ 0): x^3 - 3x^2 - x = -3

2. Перенесём всё в одну сторону: x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0

3. Разложим по группам: (x^3 - 3x^2) + (-x + 3) = x^2(x - 3) - 1(x - 3) = (x^2 - 1)(x - 3)

   Дальше раскроем разложение: (x^2 - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)

4. Найдём корни: x = 1, x = -1, x = 3

5. Проверка на исходном уравнении (важно, x ≠ 0):

   • Для x = 1: LHS = 1^2 - 3·1 - 1 = -3; RHS = -3/1 = -3 ⇒ подходит.
   • Для x = -1: LHS = (-1)^2 - 3(-1) - 1 = 1 + 3 - 1 = 3; RHS = -3/(-1) = 3 ⇒ подходит.
   • Для x = 3: LHS = 9 - 9 - 1 = -1; RHS = -3/3 = -1 ⇒ подходит.

Итого, решения уравнения: x ∈ {-1, 1, 3}.

Короткая графическая подсказка (для понимания):

• Левая часть f(x) = x^2 - 3x - 1 — парабола.
• Правая часть g(x) = -3/x — гипербола, ветви которой лежат в квадрантах II и IV.
• Решения соответствуют точкам пересечения графиков f(x) и g(x), то есть значения x, при которых f(x) = g(x). В нашем случае таких точек три: x = -1, 1, 3.