В усеченном конусе диагональ осевого сечения равна 17, радиус меньшего основания 2, высота 15. Найдите радиус большего основания.
Задача: в усечённом конусе диагональ осевого сечения равна 17, радиус меньшего основания r1 = 2, высота h = 15. Найдите радиус большего основания.
Шаги решения:
- Обозначим диаметры оснований:
- меньшего основания D1 = 2·r1 = 4
- большего основания D2 = 2·r2 (r2 — искомый радиус)
В осевом сечении усечённого конуса получается равнобокая трапеция. Диагональ этой трапеции соединяет противоположные углы и её длина считается по формуле: L^2 = h^2 + ((D1 + D2)/2)^2 где L — диагональ, h — высота трапеции (равна высоте конуса).
Подставим данные: L = 17, h = 15, D1 = 4. 289 = 15^2 + ((4 + D2)/2)^2 289 = 225 + ((4 + D2)^2)/4
Выделим квадрат: ((4 + D2)^2)/4 = 289 − 225 = 64 (4 + D2)^2 = 256 4 + D2 = 16 (положительное решение, так как длины положительны) D2 = 12
Найдём радиус большего основания: r2 = D2/2 = 12/2 = 6
Ответ: радиус большего основания равен 6. Проверка: D1 + D2 = 4 + 12 = 16; L^2 = h^2 + ((D1 + D2)/2)^2 = 225 + (16/2)^2 = 225 + 64 = 289 → L = 17. Всё согласуется.
