Задача Задача №3535676
А
А
Спускаемый аппарат массой 2 900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся на высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая…
Запрос пользователя
Спускаемый аппарат массой 2 900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся на высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая масса сгоревшего топлива маршевого двигателя должна вылететь из его сопла, чтобы скорость спускаемого аппарата уменьшилась на 1%? Временем вылета продуктов горения из сопла можно пренебречь. Ускорение свободного падения на орбите МКС равно 8,63 м/с2. Радиус Земли равен 6 400 км. Скорость истечения раскаленных газов из сопла равна 11 км/с. Ответ укажите в СИ и округлите до десятых.
Задача решается импульсивным выбросом топлива (используем ракетную формулу Тсайковского).
- Найдем условную скорость на орбите на высоте 400 км.
- Радиус орбиты r = R_Земли + высота = 6400 км + 400 км = 6800 км = 6.8 × 10^6 м.
- Ускорение гравитации на орбите дано g = 8.63 м/с^2.
- Для круговой орбиты v = sqrt(g · r) = sqrt(8.63 × 6.8 × 10^6) ≈ sqrt(5.8684 × 10^7) ≈ 7.66 × 10^3 м/с. Итак, начальная скорость спускаемого аппарата v0 ≈ 7.66 км/с.
- Требуемое уменьшение скорости (цель).
- 1% от v0: Δv = 0.01 × 7.66 × 10^3 ≈ 76.6 м/с.
- Применим ракетную формулу Тсайковского.
- Выхлопная скорость v_e = 11 км/с = 11000 м/с.
- Пусть m0 — масса до разгона, mf — масса после разгона, горючее сожжено за время импульса.
- Δv = v_e · ln(m0/mf) ⇒ ln(m0/mf) = Δv / v_e ≈ 76.6 / 11000 ≈ 0.00696.
- mf = m0 · e^(-Δv/v_e) = 2900 × e^(-0.00696) ≈ 2900 × 0.99306 ≈ 2879.9 кг.
- Масса сгоревшего топлива Δm = m0 − mf ≈ 2900 − 2879.9 ≈ 20.1 кг.
Ответ: нужно вылететь примерно 20.1 кг сгоревшего топлива.
