81. На высоте СН равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отметили точку М. Докажите, что треугольник АМВ равнобедренный. решить 2 способами

Задача: На высоте СН равнобедренного треугольника ABC с основанием AB отметили точку M. Докажите, что треугольник AMB равнобедренный. Решить 2 способами.

Способ 1. Свойство оси симметрии и перпендикулярной бисекриси

• Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AB (AC = BC), высота CN к основанию AB является её медианой и осью симметрии трапеции ABC относительно линии CN. Следовательно N — середина AB и CN ⟂ AB.
• Любая точка M на высоте CN лежит на оси симметрии треугольника ABC. Значит любая точка на CN равна по расстоянию точкам A и B, т.к. CN является перпендикулярной бисекторой AB.
• Следовательно MA = MB. Так как две стороны треугольника AMB равны, треугольник AMB равнобедренный.

Способ 2. С использованием симметрии (отражение через ось CN)

• В равнобедренном треугольнике ABC ось симметрии — это высота CN к основанию AB.
• Отражение через ось CN переводит точку A в точку B, а точку C в саму C. Любая точка M на оси CN остается на этой оси после отражения.
• Поэтому отражение через CN отправляет AM в MB. Следовательно растояния от M до A и до B равны: MA = MB.
• Значит треугольник AMB равнобедренный.

Краткий вывод: поскольку M лежит на оси симметрии CN равнобедренности треугольника AMB обеспечиваются, т.е. MA = MB.