Около правильной четырехугольной призмы описан шар с радиусом R. Радиус шара проведен к вершине призмы образует с плоскостью основания угол гамма. Найти боковую поверхность призмы

Задача: вокруг правильной четырехугольной призмы описан шар радиуса R. Радиус шара, проведённый к вершине призмы, образует с плоскостью основания угол γ. Найти боковую поверхность призмы (его площадь боковых граней). Шаги решения 1) Обозначения - Основание призмы — квадрат со стороной a. - Высота призмы — h. - Радиус описанного шара (центр шара совпадает с центром призмы) — R. Для прямой призмы R равен половине пространственной диагонали: R^2 = (a^2 + a^2 + h^2)/4 = (2a^2 + h^2)/4. 2) Угол γ и горизонтальная проекция радиуса - Радиус, проведённый к вершине призмы, идёт от центра призмы к одной из вершин основания верхнего основания. Его горизонтальная проекция на плоскость основания — это отрезок от центра к середине стороны вершины по диагонали основания. Его длина равна a/√2. - Вертикальная составляющая этого радиуса — это расстояние по высоте от центра до вершины: h/2. - Тангенс угла между радиусом и плоскостью основания даётся как отношение вертикальной составляющей к длине горизонтальной проекции: tan γ = (h/2) ÷ (a/√2) = h / (a√2). Значит h = a√2 tan γ. 3) Связь R с a и h - Используем выражение для R: R^2 = (2a^2 + h^2)/4. - Подставим h = a√2 tan γ: R^2 = (2a^2 + 2a^2 tan^2 γ)/4 = (a^2(1 + tan^2 γ))/2 = (a^2 sec^2 γ)/2. - Отсюда R = a sec γ / √2, или a = √2 R cos γ. 4) Найдём h через R и γ - Из h = a√2 tan γ и a = √2 R cos γ: h = (√2 R cos γ)√2 tan γ = 2R sin γ. 5) Боковая поверхность призмы - Боковая поверхность (площадь всех 4 боковых прямоугольников) равна площади боковой поверхности призмы: S_lat = периметр основания × высота = (4a) × h = 4ah. - Подставим найденные a и h: S_lat = 4 (√2 R cos γ) (2R sin γ) = 8√2 R^2 sin γ cos γ = 4√2 R^2 sin(2γ). Ответ Боковая поверхность призмы равна S_lat = 4√2 R^2 sin(2γ). Дополнительно: - Валидация: при γ в диапазоне (0, 90°) формула даёт корректное значение площади. Максимум S_lat достигается при γ = 45°, и тогда S_lat,max = 4√2 R^2.