Около правильной четырехугольной призмы описан шар с радиусом R. Радиус шара проведен к вершине призмы образует с плоскостью основания угол гамма. Найти боковую поверхность призмы

Задача: вокруг правильной четырехугольной призмы описан шар радиуса R. Радиус шара, проведённый к вершине призмы, образует с плоскостью основания угол γ. Найти боковую поверхность призмы (его площадь боковых граней).

Шаги решения

1. Обозначения

• Основание призмы — квадрат со стороной a.
• Высота призмы — h.
• Радиус описанного шара (центр шара совпадает с центром призмы) — R. Для прямой призмы R равен половине пространственной диагонали: R^2 = (a^2 + a^2 + h^2)/4 = (2a^2 + h^2)/4.

2. Угол γ и горизонтальная проекция радиуса

• Радиус, проведённый к вершине призмы, идёт от центра призмы к одной из вершин основания верхнего основания. Его горизонтальная проекция на плоскость основания — это отрезок от центра к середине стороны вершины по диагонали основания. Его длина равна a/√2.
• Вертикальная составляющая этого радиуса — это расстояние по высоте от центра до вершины: h/2.
• Тангенс угла между радиусом и плоскостью основания даётся как отношение вертикальной составляющей к длине горизонтальной проекции: tan γ = (h/2) ÷ (a/√2) = h / (a√2). Значит h = a√2 tan γ.

3. Связь R с a и h

• Используем выражение для R: R^2 = (2a^2 + h^2)/4.
• Подставим h = a√2 tan γ: R^2 = (2a^2 + 2a^2 tan^2 γ)/4 = (a^2(1 + tan^2 γ))/2 = (a^2 sec^2 γ)/2.
• Отсюда R = a sec γ / √2, или a = √2 R cos γ.

4. Найдём h через R и γ

• Из h = a√2 tan γ и a = √2 R cos γ: h = (√2 R cos γ)√2 tan γ = 2R sin γ.

5. Боковая поверхность призмы

• Боковая поверхность (площадь всех 4 боковых прямоугольников) равна площади боковой поверхности призмы: S_lat = периметр основания × высота = (4a) × h = 4ah.
• Подставим найденные a и h: S_lat = 4 (√2 R cos γ) (2R sin γ) = 8√2 R^2 sin γ cos γ = 4√2 R^2 sin(2γ).

Ответ Боковая поверхность призмы равна S_lat = 4√2 R^2 sin(2γ).

Дополнительно:

• Валидация: при γ в диапазоне (0, 90°) формула даёт корректное значение площади. Максимум S_lat достигается при γ = 45°, и тогда S_lat,max = 4√2 R^2.