На продолжении стороны KN данного треугольника KMN постройте точку Р так, чтобы площадь треугольника NMP была в два раза меньше площади треугольника KMN
Решение (конструкция):
Пусть L — середина отрезка KN.
Постройте точку P на продолжении KN за N так, чтобы NP = NL. Это можно сделать так:
- провести круг с центром N и радиусом NL;
- он пересечёт прямую KN в двух точках: между N и K (это L) и на продолжении за N (выберем другое пересечение) — это и есть P.
Обоснование правильности:
Треугольники KMN и NMP имеют общую высоту к прямой KN (высота из M к линии KN). Следовательно их площади пропорциональны основаниям KN и NP: S(KMN) = (1/2) · KN · h, S(NMP) = (1/2) · NP · h, где h — высота из M к KN.
По условию нужно S(NMP) = (1/2) S(KMN). Это выполняется, если NP = KN/2. Поскольку NL = KN/2, а NP = NL, имеем NP = KN/2.
Итак, точка P на продолжении KN за N с NP = NK/2 удовлетворяет требованию: площадь треугольника NMP вдвое меньше площади треугольника KMN. Примечание: если взять P на отрезке KN в середине NK, тоже будет выполняться NP = NK/2, но в задаче требуется именно на продолжении KN.
