система: x³+y³=65 x²y+xy²=20

Решение по шагам

1. Заметим, что задачи симметричны по x и y. Введём обозначения:

• S = x + y
• P = xy

2. Перепишем данные выражения через S и P:

• x^3 + y^3 = (x + y)^3 − 3xy(x + y) = S^3 − 3PS
• x^2y + xy^2 = xy(x + y) = PS

Получаем систему:

• S^3 − 3PS = 65
• PS = 20

3. Из второго уравнения: PS = 20. Подставим в первое: S^3 − 3·20 = 65 → S^3 = 125 → S = 5 (для вещественных чисел).

4. Тогда P = 20 / S = 20 / 5 = 4.

5. x и y являются корнями квадратного уравнения t^2 − S t + P = 0: t^2 − 5t + 4 = 0 Дискриминант D = 25 − 16 = 9, корни: t = (5 ± 3)/2 ⇒ t = 1 и t = 4.

6. Следовательно, пары решений (x, y) — это перестановки корней:

• (x, y) = (4, 1)
• (x, y) = (1, 4)

Проверка (для обеих пар выполняются условия): x^3 + y^3 = 64 + 1 = 65, x^2y + xy^2 = xy(x + y) = (4·1)·5 = 20.

Ответ: x и y равны 1 и 4 в любом порядке.