Биссектриса АК делит сторонуВС треугольника АВС пополам периметр треугольника АВС равен 36 см периметр треугольника АКС равен 30 см найти биссектрису АК

Дано: AK — биссектриса угла A треугольника ABC, BK = KC (AK делит сторону BC пополам). Периметры: P(ABC) = 36 см, P(AKC) = 30 см. Найти длину AK.

Пояснения и решение:

1. По теореме биссектрисы BK/CK = AB/AC. Так как BK = CK, получаем AB = AC. Обозначим AB = AC = x, а BC = a. Тогда BK = KC = a/2.

2. Периметры:

• Площадь ABC: AB + AC + BC = x + x + a = 2x + a = 36. Следовательно a = 36 − 2x. (1)

• Поскольку AB = AC, треугольник ABC — равнобедренный. Точка K — середина основания BC, следовательно AK является медианой (и высотой) к BC. Поэтому AK^2 + (a/2)^2 = AB^2 = x^2, то AK = sqrt(x^2 − a^2/4). (2)

3. Периметр треугольника AKC: AK + KC + CA = AK + a/2 + x = 30. Подставим (2) и (1):

AK = sqrt(x^2 − a^2/4), a = 36 − 2x, поэтому a^2/4 = ((36 − 2x)^2)/4 = (18 − x)^2.

Тогда AK = sqrt(x^2 − (18 − x)^2) = sqrt(36x − 324) = 6 sqrt(x − 9).

Уравнение периметра AKC: 6 sqrt(x − 9) + (a/2) + x = 30. a/2 = (36 − 2x)/2 = 18 − x. Значит: 6 sqrt(x − 9) + (18 − x) + x = 30 6 sqrt(x − 9) + 18 = 30 6 sqrt(x − 9) = 12 sqrt(x − 9) = 2 x − 9 = 4 x = 13.

4. Находим a: a = 36 − 2x = 36 − 26 = 10.

5. Длина биссектрисы AK: AK = 6 sqrt(x − 9) = 6 sqrt(4) = 12 см.

Проверка:

• P(ABC) = 2x + a = 2·13 + 10 = 36 — верно.
• P(AKC) = AK + KC + CA = 12 + 5 + 13 = 30 — верно.
• BK = KC = a/2 = 5, AB = AC = 13, BK/CK = AB/AC — равенство сохраняется.

Ответ: AK = 12 см.