6. Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 1 см. На диагонали AC его грани отметили точку F так, что AF : FC = 3 : 7. 1) Выразите вектор (B_1 F) ⃗ через векторы (B_1 A_1 ) ⃗,…

Цель: Понять решение задачи по геометрии для 11 класса. Ниже даю подробное пошаговое объяснение.

Дано: Куб ABCDA1B1C1D1, ребро = 1 см. Точка F лежит на диагонали AC основания ABCD так, что AF:FC = 3:7.

1. Выразить вектор (B1F) через векторы (B1A1), (B1C1) и (B1B)

• Вводим координаты куба (удобно для наглядности):

  • A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0)
  • A1(0,0,1), B1(1,0,1), C1(1,1,1), D1(0,1,1)

• Диагональ AC лежит в плоскости z = 0.
  Так как AF:FC = 3:7, AF/AC = 3/(3+7) = 3/10. Тогда F = A + (3/10)(C − A) = (0,0,0) + (3/10)(1,1,0) = (3/10, 3/10, 0).

• Вектор B1F = F − B1. Координаты B1 = (1,0,1), значит B1F = (3/10 − 1, 3/10 − 0, 0 − 1) = (−7/10, 3/10, −1).

• Векторы, исходящие из B1:

  • B1A1 = A1 − B1 = (0,0,1) − (1,0,1) = (−1, 0, 0)
  • B1C1 = C1 − B1 = (1,1,1) − (1,0,1) = (0, 1, 0)
  • B1B = B − B1 = (1,0,0) − (1,0,1) = (0, 0, −1)

• Предположим, что B1F выражается как линейная комбинация этих трех базисных векторов: B1F = a(B1A1) + b(B1C1) + c(B1B) = a(−1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,−1) = (−a, b, −c).

• Приравниваем координаты: (−a, b, −c) = (−7/10, 3/10, −1)

  Отсюда: a = 7/10, b = 3/10, c = 1.

• Значит, выражение в нужной форме: (B1F) = (7/10)(B1A1) + (3/10)(B1C1) + 1·(B1B).

2. Найти модуль вектора (B1F)

• Mодуль вектора B1F по найденным координатам: |B1F| = sqrt[ (−7/10)^2 + (3/10)^2 + (−1)^2 ] = sqrt[ 49/100 + 9/100 + 1 ] = sqrt[ 58/100 + 1 ] = sqrt[ 158/100 ] = sqrt(158) / 10.

• Численно: sqrt(158) ≈ 12.589, поэтому |B1F| ≈ 12.589 / 10 ≈ 1.259 см. Результат округленно ≈ 1.26 см (при желании можно оставить точно как sqrt(158)/10 см).

Ответы:

1. (B1F) = (7/10)(B1A1) + (3/10)(B1C1) + 1·(B1B)
2. |(B1F)| = sqrt(158)/10 см ≈ 1.26 см