(x+3)²/2x-4 × x²-4/3x+9

Задача: (x+3)^2/(2x-4) × (x^2-4)/(3x+9)

Пошаговое решение с объяснениями

1. Распишем как произведение двух дробей и factorize каждую часть:

• 2x - 4 = 2(x - 2)
• 3x - 9 = 3(x + 3) (здесь у нас 3x + 9, то же самое, только с плюсом)
• x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
• (x + 3)^2 остается без изменения

Запишем исходное выражение через множители: ((x + 3)^2) / (2(x - 2)) × ((x - 2)(x + 2)) / (3(x + 3))

2. Перепишем как одну дробь и сведем множители: Числитель: (x + 3)^2 · (x - 2) · (x + 2) Знаменатель: 2(x - 2) · 3(x + 3) = 6 · (x - 2)·(x + 3)

То есть имеем: [(x + 3)^2 · (x - 2) · (x + 2)] / [6 · (x - 2) · (x + 3)]

3. Упростим за счёт общих множителей:

• можно сократить (x - 2) (предполагаем x ≠ 2)
• можно сократить один фактор (x + 3) (предполагаем x ≠ -3)

После сокращения остаётся: (x + 3)(x + 2) / 6

4. Ограничения области (domain):

• из-за делителей не может быть x ≠ 2 (2x - 4 ≠ 0)
• и x ≠ -3 (3x + 9 ≠ 0)

Эти значения нельзя допускать, даже если после упрощения выражение выглядит иначе.

5. Итог: Упрощённое выражение: (x + 3)(x + 2) / 6 или эквивалентно (x^2 + 5x + 6)/6, при условии x ∈ R и x ≠ 2, x ≠ -3.

Примечание: можно проверить на примере x = 0: Исходное: (3^2)/( -4) × (-4)/9 = 9/(-4) × (-4)/9 = 1 Получаемое: (0+3)(0+2)/6 = 3·2/6 = 1. Это совпадает, как и должно.