х²+bx+c=0
Ниже детальное решение общего вида уравнения x^2 + b x + c = 0 (поскольку здесь коэффициент перед x^2 равен 1). Пояснения идут пошагово, чтобы лучше понять принцип.
- Что мы ищем
- Найти все корни x, которые удовлетворяют уравнению x^2 + b x + c = 0.
- Здесь b и c — произвольные числа (целые, рациональные и т. д.). В дальнейшем можно учитывать случай, когда корни вещественные или комплексные.
- Дискриминант
- Величина Δ (дискриминант) равна Δ = b^2 − 4c.
- В зависимости от знака Δ появляются разные случаи корней.
- Формула корней
- Если Δ > 0: два вещественных корня x1 = (−b − sqrt(Δ)) / 2 x2 = (−b + sqrt(Δ)) / 2
- Если Δ = 0: один вещественный корень (кратности 2) x = −b / 2
- Если Δ < 0: два комплексных корня x1 = (−b − i sqrt(|Δ|)) / 2 x2 = (−b + i sqrt(|Δ|)) / 2 (i — мнимая единица)
- Примечание по форме
- Ваша исходная форма уже упрощена: коэффициент перед x^2 равен 1. Если бы было ax^2 + bx + c = 0, то корни задавались бы формулой x = [−b ± sqrt(b^2 − 4ac)] / (2a). Здесь a = 1, поэтому знаменатель просто 2.
- Способы решения помимо дискриминанта
- Факторизация: если Δ — точная квадратичная сумма и sqrt(Δ) целое, можно разложить на множители: x^2 + b x + c = (x − x1)(x − x2), где x1 и x2 — корни.
- Completing the square: привести уравнение к виду (x + b/2)^2 = Δ/4 и затем найти x.
- Графический смысл: корни — точки пересечения графика f(x) = x^2 + b x + c с осью x. Ветвь параболы вверх (a = 1), вершина в x = −b/2.
- Примеры (чтобы увидеть работу формул на практике)
Пример 1: b = 3, c = 2 Δ = 3^2 − 4·2 = 9 − 8 = 1 > 0 x1 = (−3 − sqrt(1))/2 = (−3 − 1)/2 = −2 x2 = (−3 + sqrt(1))/2 = (−3 + 1)/2 = −1 Корни: −2 и −1. Можно проверить: (x+2)(x+1) = x^2 + 3x + 2.
Пример 2: b = 4, c = 4 Δ = 4^2 − 4·4 = 16 − 16 = 0 x = −b/2 = −4/2 = −2 Корень: −2 (кратности 2). Факторизация: (x + 2)^2.
Пример 3: b = 0, c = 1 Δ = 0^2 − 4·1 = −4 < 0 x1,2 = (−0 ± i sqrt(4)) / 2 = ± i Корни: i и −i (комплексные).
Пример 4: b = 0, c = −4 Δ = 0^2 − 4·(−4) = 16 > 0 x1 = (−0 − sqrt(16))/2 = −4/2 = −2 x2 = (−0 + sqrt(16))/2 = 4/2 = 2 Корни: −2 и 2. Фактически x^2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
- Свойства корней (для удобства)
- Сумма корней: x1 + x2 = −b
- Произведение корней: x1 · x2 = c
- Если Δ = 0, корень двойной: x1 = x2 = −b/2
- Полезные подсказки
- Если вы ставите задачу без конкретных чисел, чаще всего можно выразить корни через b и c так, как дано: x = (−b ± sqrt(b^2 − 4c)) / 2.
- Иногда удобно проверить решение подстановкой: подставить найденные x в уравнение и убедиться, что левая часть равна нулю.
- Краткий итог
- Решение квадратного уравнения x^2 + b x + c = 0 сводится к вычислению Δ = b^2 − 4c и выбору формулы корней в зависимости от знака Δ.
Если хотите, могу подобрать и привести конкретные примеры под конкретные значения b и c, а также показать пошаговую проверку каждого решения. Также могу объяснить графическое представление корней на параболе и показать, как они соотносятся с вершиной x_v = −b/2.
