x²+6x-7<0

Задача: решить неравенство x^2 + 6x - 7 < 0.

Пошаговое решение (для 9-го класса, цель — понять):

1. Приведем выражение к факторизуемому виду.

• x^2 + 6x - 7 можно привести к произведению (x - 1)(x + 7), потому что (x - 1)(x + 7) = x^2 + 7x - x - 7 = x^2 + 6x - 7.

2. Приведем неравенство к виду с произведением.

• Неравенство становится: (x - 1)(x + 7) < 0.

3. Найдем точки разрыва знака (нулевые значения множителей).

• Множители обращаются в нуль при x = 1 и x = -7. Эти точки делят ось на три промежутка: (-∞, -7), (-7, 1), (1, ∞).

4. Определим знак произведения на каждом промежутке.

• Для x < -7 возьмем, например, x = -8: (x - 1) = -9 (отрицательно), (x + 7) = -1 (отрицательно). Произведение положительное → не подходит.
• Для -7 < x < 1 возьмем x = 0: (x - 1) = -1 (отрицательно), (x + 7) = 7 (положительно). Произведение отрицательное → подходит.
• Для x > 1 возьмем x = 2: (x - 1) = 1 (положительно), (x + 7) = 9 (положительно). Произведение положительное → не подходит.

5. Сделаем вывод.

• Неравенство выполняется на промежутке (-7, 1). Так как неравенство строгое (<0), концы не включаются.

Ответ: x ∈ (-7, 1).

Дополнительная проверка (по желанию): можно решить через дискриминант.

• Рассмотреть x^2 + 6x - 7 = 0. D = 6^2 - 4·1·(-7) = 36 + 28 = 64. Корни: x = (-6 ± 8)/2 → x = -7 и x = 1.
• Так как a > 0, парабола открыта вверх, поэтому выражение меньше нуля между корнями: (-7, 1).

Если нужно, могу привести решение в виде графика или дать аналогичные примеры для закрепления.