2cos²3x - 17cos3x +8≤0 Найди минимальное значение х из промежутка 4π/9; 7π/9, удовлетворяющее данному неравенству. Запиши в поле ответа значение х, умноженное на - 9/π

Решение задачи

1. Пусть t = cos(3x). Тогда неравенство 2cos²(3x) - 17cos(3x) + 8 ≤ 0 переходит в 2t² - 17t + 8 ≤ 0.

2. Найдем корни квадратичного выражения: D = 17² - 4·2·8 = 289 - 64 = 225, √D = 15. t = (17 ± 15)/(2·2) = (2/4) = 1/2 и t = (32/4) = 8.

Открывает вверх, значит неравенство выполняется на t ∈ [1/2, 8]. Но t ∈ [-1,1], значит t ∈ [1/2, 1]. То есть cos(3x) ∈ [1/2, 1].

3. Для y = 3x из cos y ∈ [1/2, 1] имеем y ∈ [−π/3 + 2πk, π/3 + 2πk], k ∈ Z. Тогда x ∈ [−π/9 + 2πk/3, π/9 + 2πk/3].

4. Рассмотрим заданный промежуток [4π/9, 7π/9].

• Для k = 0 получаем [-π/9, π/9], пересечения с заданным интервалом нет.
• Для k = 1 получаем [2π/3 − π/9, 2π/3 + π/9] = [5π/9, 7π/9], который полностью лежит в заданном интервале.

Следовательно, в заданном интервале решение есть и оно равно x ∈ [5π/9, 7π/9]. Минимальное значение x_min = 5π/9.

5. Нужно записать значение x умноженное на -9/π: x_min · (−9/π) = (5π/9) · (−9/π) = −5.

Ответ: −5.