дан числовой набор;5, -14, 14, 5, -5, 0, 7, 8, 10 найдите для данного набора чисел а) среднее арифметическое б) медиану в) размах г) дисперсия д) стандартное отклонение
Цель: понять задачу с пошаговым разбором.
Данные: 5, -14, 14, 5, -5, 0, 7, 8, 10 (n = 9)
- Среднее арифметическое (μ)
- Сумма всех чисел: 5 + (-14) + 14 + 5 + (-5) + 0 + 7 + 8 + 10 = 30
- Среднее: μ = сумма / n = 30 / 9 = 10/3 ≈ 3.333
- Медиана
- Сначала отсортируем: -14, -5, 0, 5, 5, 7, 8, 10, 14
- Так как количество элементов нечетное (9), медиана — пятый элемент: 5
- Размах (диапазон)
- Минимальное = -14, максимальное = 14
- Размах = max - min = 14 - (-14) = 28
- Дисперсия и стандартное отклонение Замечание: дисперсия может быть популяционной (для всей совокупности) или выборочной (для выборки). Ниже оба варианта.
Сначала удобнее посчитать сумму квадратов отклонений: Σ(x_i - μ)^2 = Σx_i^2 - n·μ^2 Где Σx_i^2 = 5^2 + (-14)^2 + 14^2 + 5^2 + (-5)^2 + 0^2 + 7^2 + 8^2 + 10^2 = 680 μ = 10/3, n = 9, n·μ^2 = 9·(100/9) = 100 Сумма квадратов отклонений = 680 - 100 = 580
Популяционная дисперсия (для всей совокупности): σ^2 = (1/n) Σ(x_i - μ)^2 = 580 / 9 ≈ 64.444 Популяционное стандартное отклонение: σ = sqrt(580/9) = sqrt(580)/3 ≈ 8.028
Выборочная дисперсия (если набор — часть большой совокупности): s^2 = (1/(n-1)) Σ(x_i - μ)^2 = 580 / 8 = 72.5 Выборочное стандартное отклонение: s = sqrt(72.5) ≈ 8.515
Итоговые значения:
- a) Среднее: ≈ 3.333
- b) Медиана: 5
- c) Размах: 28
- d) Дисперсия: популяционная ≈ 64.444; выборочная ≈ 72.500
- e) Стандартное отклонение: популяционное ≈ 8.028; выборочное ≈ 8.515
Если не указано, что набор является всю совокупность, чаще говорят о популяционных величинах. В общем случае можно привести оба варианта как выше.
