Задача Задача №3538859
А
А
доказать коллимеарность векторов AB(4;8;12); BC(8;12;16)
Цель: проверить, коллинеарны ли векторы AB = (4; 8; 12) и BC = (8; 12; 16).
Пошаговое решение
- Проверка через пропорциональность координат
- Для того чтобы AB и BC были коллинеарны, должен существовать коэффициент λ such that BC = λ · AB.
- Посчитаем λ по каждой координате:
- по x: 8 = λ·4 ⇒ λ = 2
- по y: 12 = λ·8 ⇒ λ = 12/8 = 3/2
- по z: 16 = λ·12 ⇒ λ = 16/12 = 4/3
- Получаем разные значения λ (2, 3/2, 4/3). Следовательно, не существует одного общего λ, который переводил бы AB в BC. Значит, AB и BC не коллинеарны.
- Проверка через векторное произведение (достаточно для проверки коллинеарности)
- Вычислим AB × BC: AB = (4, 8, 12), BC = (8, 12, 16) AB × BC = (-16, 32, -16)
- Так как результат не нулевой вектор, векторы не коллинеарны.
Вывод
- Векторы AB и BC не коллинеарны (не параллельны). Это означает, что точки A, B и C не лежат на одной прямой; площадь параллелограмма, образованного AB и BC, равна |AB × BC| = √((-16)^2 + 32^2 + (-16)^2) = √(256 + 1024 + 256) = √1536 = 16√6, а площадь треугольника ABC — 8√6 ≈ 19.6.
