Вычисли площадь трапеции АBCD с основаниями AD и ВС, если AD = 24 см, ВС = 16 см, ∠A = 45°, ∠D = 90°.

Решение по шагам.

• Пусть точка A в координатной системе: A(0, 0), а основание AD лежит на оси x и равно 24 см, значит D(24, 0).

• Так как AD и BC параллельны, BC тоже лежит на линии y = h, где h — высота трапеции. Точку C возьмём как C(24, h) (CD перпендикулярно AD и равен высоте h).

• Угол при A равен 45°. Точка B имеет координаты (x_B, h). Вектор AB = (x_B, h) образует угол с осью x, равный arctan(h/x_B). Поэтому arctan(h/x_B) = 45° ⇒ h/x_B = 1 ⇒ x_B = h. Значит B = (h, h).

• Длина основания BC равна разности по x между C и B: BC = 24 − h. По условию BC = 16, значит 24 − h = 16 ⇒ h = 8.

• Итак, высота трапеции h = 8 см. Площадь трапеции вычисляется как S = (AD + BC) / 2 * h = (24 + 16) / 2 * 8 = 40/2 * 8 = 20 * 8 = 160 см².

Ответ: площадь трапеции ABCD равна 160 см².