А к плоскости а проведены а) Найдите расстояние от точ- ки А до плоскости а, если екций АВ и АС на плоскость а АВ : АС = 13 : 15, а длины про- равны 5 см и 9 см. б) Определите,…

Решение.

Обозначим через A' проекцию точки A на плоскость α. Пусть AA' = h — расстояние от A до плоскости α. Пусть B и C — точки пересечения прямых AB и AC с плоскостью α, соответственно. Данo AB:AC = 13:15, а длины проекций на плоскость α равны A'B = 5 см и A'C = 9 см.

а) Найдите h.

• По прямоугольным треугольникам AB^2 = AA'^2 + A'B^2 = h^2 + 5^2 = h^2 + 25.
• Аналогично AC^2 = h^2 + 9^2 = h^2 + 81.
• По условию AB:AC = 13:15, значит sqrt(h^2+25) : sqrt(h^2+81) = 13:15.
• Возьмём квадрат: (h^2+25)/(h^2+81) = 169/225.
• Перемножим: 225(h^2+25) = 169(h^2+81) → 225h^2 + 5625 = 169h^2 + 13689.
• Получаем 56h^2 = 8064 → h^2 = 144 → h = 12 см.

Итак, расстояние от точки A до плоскости α равно 12 см. Дополнительно можно проверить сами AB и AC:

• AB = sqrt(h^2 + 25) = sqrt(144+25) = 13 см,
• AC = sqrt(h^2 + 81) = sqrt(144+81) = 15 см, что соответствует указанному соотношению 13:15.

б) Определите, лежат ли проекции данных наклонных в плоскости ABC, если BC = 10 см.

• Плоскость ABC определяется тремя точками A, B, C. Прямая AB содержит и A, и B, поэтому AB лежит в плоскости ABC; точно так же AC лежит в плоскости ABC.
• Проекции наклонных AB и AC на плоскость ABC совпадают с самими линиями AB и AC, соответственно, т.к. эти линии уже лежат в плоскости ABC.
• Следовательно, да, проекции лежат в плоскости ABC (это тривиально, ведь AB и AC принадлежат этой плоскости). Параметр BC = 10 см тут не влияет на этот вывод.

Ответы:

• а) Расстояние от точки A до плоскости α равно 12 см.
• б) Проекции AB и AC на плоскость ABC лежат в этой плоскости (на деле это сами AB и AC). BC = 10 см в этом не влияет.