Пятиугольника соответствен- но равны все стороны и все диагона-ли. Докажите, что равны все его углы.

Обозначим вершины пятиугольника через A, B, C, D, E по порядку. Даны: AB = BC = CD = DE = EA (равные стороны) и AC = BD = CE = DA = EB (равные диагонали). Докажем, что все углы равны. 1) Треугольники ABC и EAB: - AB = AB (общая сторона), - BC = EA (все стороны равны), - AC = EB (все диагонали равны). По признак SSS эти треугольники конгруэнтны. Следовательно, ∠ABC = ∠EAB, то есть ∠B = ∠A. 2) Треугольники BCD и CBA: - BC = CB (одинаковые стороны), - CD = BA (все стороны равны), - BD = CA (диагонали равны). По SSS они конгруэнтны, значит ∠BCD = ∠CBA, то есть ∠C = ∠B. 3) Треугольники CDE и DCB: - CD = DE (все стороны равны), - DE = CB (все стороны равны), - CE = DB (диагонали равны). По SSS они конгруэнтны, значит ∠CDE = ∠DCB, то есть ∠D = ∠C. Из п.1–п.3 следует ∠A = ∠B = ∠C = ∠D. 4) Треугольники EAB и AED: - EA = AE (одна и та же сторона), - AB = DE (все стороны равны), - EB = AD (диагонали равны). По SSS они конгруэнтны, значит ∠EAB = ∠AED, то есть ∠A = ∠E. Итак, все пять углов равны: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E. Так как сумма внутренних углов пятиугольника равна 540°, каждое из них равно 108°.