Задача Задача №3539564
А
А
пятиугольника соответствен- но равны все стороны и все диагона-ли. Докажите, что равны все его углы.
Обозначим вершины пятиугольника через A, B, C, D, E по порядку.
Даны: AB = BC = CD = DE = EA (равные стороны) и AC = BD = CE = DA = EB (равные диагонали).
Докажем, что все углы равны.
- Треугольники ABC и EAB:
- AB = AB (общая сторона),
- BC = EA (все стороны равны),
- AC = EB (все диагонали равны).
По признак SSS эти треугольники конгруэнтны. Следовательно, ∠ABC = ∠EAB, то есть ∠B = ∠A.
- Треугольники BCD и CBA:
- BC = CB (одинаковые стороны),
- CD = BA (все стороны равны),
- BD = CA (диагонали равны).
По SSS они конгруэнтны, значит ∠BCD = ∠CBA, то есть ∠C = ∠B.
- Треугольники CDE и DCB:
- CD = DE (все стороны равны),
- DE = CB (все стороны равны),
- CE = DB (диагонали равны).
По SSS они конгруэнтны, значит ∠CDE = ∠DCB, то есть ∠D = ∠C.
Из п.1–п.3 следует ∠A = ∠B = ∠C = ∠D.
- Треугольники EAB и AED:
- EA = AE (одна и та же сторона),
- AB = DE (все стороны равны),
- EB = AD (диагонали равны).
По SSS они конгруэнтны, значит ∠EAB = ∠AED, то есть ∠A = ∠E.
Итак, все пять углов равны: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E. Так как сумма внутренних углов пятиугольника равна 540°, каждое из них равно 108°.
