В параллелограмме ABCD угол В тупой. На продолжении стороны AD за вершину D отмечена точка Е так, что ∠.ECD = 60°, ∠.CED = 90°, АВ = 4 см, AD = 10 см. Найдите площадь параллелограмма.

Задача по геометрии на параллелограмм с данными условиями даёт площадь. Данные: - ABCD — параллелограмм, AB = 4 см, AD = 10 см. - Угол B тупой (это соответствует углу A = BAD = 180° − угол B, то угол A acute). - Точка E лежит на продолжении AD за D так, что ∠ECD = 60°, ∠CED = 90°. Значит треугольник CED — 30-60-90. 1) Вычислим стороны треугольника CED. - Так как ∠CED = 90° и ∠ECD = 60°, то ∠EDC = 30°. - Гипотенуза CD равна стороне параллелограмма, противоположная AB: CD = AB = 4 см. - В 30-60-90 треугольнике отношение гипотенузы к короткому катету (против угла 30°) равно 2:1. Поэтому: - CE (против30°) = 2 - DE (против60°) = 2√3 - CD = 4 (гипотенуза) 2) Найдём угол BAD (обозначим его θ). Чтобы связать θ с данными треугольника CED, удобнее воспользоваться векторами. Положим: - A = (0, 0) - AB = 4 вдоль оси x, тогда B = (4, 0) - AD имеет длину 10 и образует угол θ с AB, значит D = (10 cos θ, 10 sin θ) - C — сосед параллелограмма: C = B + AD = (4 + 10 cos θ, 10 sin θ) - E лежит на продолжении AD за D на расстоянии DE = 2√3 вдоль направления AD, поэтому E = D + (2√3)(cos θ, sin θ) = ((10 + 2√3) cos θ, (10 + 2√3) sin θ) Векторы от C: - CD = D − C = (−4, 0) - CE = E − C = ( (10+2√3) cos θ − (4 + 10 cos θ), (10+2√3) sin θ − 10 sin θ ) = ( 2√3 cos θ − 4, 2√3 sin θ ) Угол ∠ECD равен 60°, значит косинус угла между CE и CD равен 1/2: (CE · CD) / (|CE||CD|) = 1/2 CE · CD = (2√3 cos θ − 4)(−4) + (2√3 sin θ)(0) = 16 − 8√3 cos θ |CD| = 4 |CE| = sqrt[(2√3 cos θ − 4)^2 + (2√3 sin θ)^2] = sqrt(28 − 16√3 cos θ) Тогда: (16 − 8√3 cos θ) / (4 sqrt(28 − 16√3 cos θ)) = 1/2 Из этого получаем уравнение, которое приводит к cos θ = √3/2. Значит θ = 30°. 3) Площадь параллелограмма. Площадь равна AB · AD · sin ∠BAD = 4 · 10 · sin 30° = 40 · 1/2 = 20 см². Ответ: 20 см².