В параллелограмме ABCD угол В тупой. На продолжении стороны AD за вершину D отмечена точка Е так, что ∠.ECD = 60°, ∠.CED = 90°, АВ = 4 см, AD = 10 см. Найдите площадь…

Задача по геометрии на параллелограмм с данными условиями даёт площадь.

Данные:

• ABCD — параллелограмм, AB = 4 см, AD = 10 см.
• Угол B тупой (это соответствует углу A = BAD = 180° − угол B, то угол A acute).
• Точка E лежит на продолжении AD за D так, что ∠ECD = 60°, ∠CED = 90°. Значит треугольник CED — 30-60-90.

1. Вычислим стороны треугольника CED.

• Так как ∠CED = 90° и ∠ECD = 60°, то ∠EDC = 30°.
• Гипотенуза CD равна стороне параллелограмма, противоположная AB: CD = AB = 4 см.
• В 30-60-90 треугольнике отношение гипотенузы к короткому катету (против угла 30°) равно 2:1. Поэтому:
  • CE (против30°) = 2
  • DE (против60°) = 2√3
  • CD = 4 (гипотенуза)

2. Найдём угол BAD (обозначим его θ). Чтобы связать θ с данными треугольника CED, удобнее воспользоваться векторами.

Положим:

• A = (0, 0)
• AB = 4 вдоль оси x, тогда B = (4, 0)
• AD имеет длину 10 и образует угол θ с AB, значит D = (10 cos θ, 10 sin θ)
• C — сосед параллелограмма: C = B + AD = (4 + 10 cos θ, 10 sin θ)
• E лежит на продолжении AD за D на расстоянии DE = 2√3 вдоль направления AD, поэтому E = D + (2√3)(cos θ, sin θ) = ((10 + 2√3) cos θ, (10 + 2√3) sin θ)

Векторы от C:

• CD = D − C = (−4, 0)
• CE = E − C = ( (10+2√3) cos θ − (4 + 10 cos θ), (10+2√3) sin θ − 10 sin θ ) = ( 2√3 cos θ − 4, 2√3 sin θ )

Угол ∠ECD равен 60°, значит косинус угла между CE и CD равен 1/2: (CE · CD) / (|CE||CD|) = 1/2

CE · CD = (2√3 cos θ − 4)(−4) + (2√3 sin θ)(0) = 16 − 8√3 cos θ |CD| = 4 |CE| = sqrt[(2√3 cos θ − 4)^2 + (2√3 sin θ)^2] = sqrt(28 − 16√3 cos θ)

Тогда: (16 − 8√3 cos θ) / (4 sqrt(28 − 16√3 cos θ)) = 1/2

Из этого получаем уравнение, которое приводит к cos θ = √3/2. Значит θ = 30°.

3. Площадь параллелограмма. Площадь равна AB · AD · sin ∠BAD = 4 · 10 · sin 30° = 40 · 1/2 = 20 см².

Ответ: 20 см².