В равнобедренном треугольнике KMN проведена высота MA из вершины к основанию. Также была проведена высота NH, которая пересекает MA в точке О. Найдите отношение MO к OA, если…

Задача решается с помощью координат.

1. Расстановка координат

• Пусть KN лежит на оси x, A — её середина. Тогда K = (-d, 0), N = (d, 0), A = (0, 0).
• В равнобедренном треугольнике KM = MN, вершина M над основанием KN, поэтому M = (0, h).
• Тогда MA — высота к основанию и одновременно медиана, A — середина KN.

2. Положение точки H

• По условию KH = KM/3. Точку H на стороне KM можно записать как линейную комбинацию K → M: H = K + (1/3)(M - K). Это даёт H = (-d, 0) + (1/3)(d, h) = (-2d/3, h/3).

• Так как NH — высота к KM, она перпендикулярна KM. Значит вектор NH ⟂ вектор KM. Это даёт условие (H - N) · (M - K) = 0. Здесь H - N = (-2d/3 - d, h/3 - 0) = (-5d/3, h/3), M - K = (d, h). Складывая: (-5d/3)*d + (h/3)*h = 0 → h^2 = 5d^2 → h = √5 · d.

3. Найдём прямую NH и точку O

• Коэффициент наклона NH: m = (h/3 - 0) / (-2d/3 - d) = (h/3) / (-5d/3) = -h/(5d) = -√5 d /(5d) = -1/√5.
• Уравнение NH через N(d, 0): y = m(x - d) = -(1/√5)(x - d) = -(1/√5)x + d/√5.
• Прямую MA имеем как x = 0. Тогда точка пересечения O: x = 0, y_O = d/√5. Так что O = (0, d/√5).

4. Отношение MO к OA

• M = (0, h) с h = √5 · d.
• MO = расстояние по оси y от M до O: MO = h − y_O = √5 d − d/√5 = (4d)/√5.
• OA = y_O − 0 = d/√5.
• Отношение MO:OA = [(4d)/√5] : [d/√5] = 4:1.

Ответ: MO:OA = 4:1.