При каких значениях параметра `a` система уравнений имеет единственное решение? $$\left\{\begin{array}{l}y=a-1-x\\ x\left(a-1-x\right)=3a-8\end{array}\right.$$

Детальное решение 1) Из первого уравнения выражаем y через x и a: y = a − 1 − x. 2) Подставим во второе уравнение: x(a − 1 − x) = 3a − 8 Приведём к стандартному виду квадратичного уравнения по x: -x^2 + (a − 1)x − (3a − 8) = 0. Или удобнее записать как: -x^2 + (a − 1)x − 3a + 8 = 0. Это квадратное уравнение в x с коэффициентами A = −1, B = a − 1, C = −3a + 8. 3) Количество решений системы равно количеству вещественных корней этого квадрирования по x (поскольку y определяется по x и a). Единственное решение системы возникнет только тогда, когда квадратное уравнение по x имеет ровно один корень, то есть дискриминант D = 0. D = B^2 − 4AC = (a − 1)^2 − 4(−1)(−3a + 8) = (a − 1)^2 − 4(3a − 8) = a^2 − 2a + 1 − 12a + 32 = a^2 − 14a + 33. При D = 0 получаем значение параметра a: a^2 − 14a + 33 = 0 (решение квадратичного уравнения) Δ = 14^2 − 4·1·33 = 196 − 132 = 64, корни: a = [14 ± √64]/2 = [14 ± 8]/2 → a = 3 или a = 11. 4) Проверим для каждого a: - Для a = 3: y = a − 1 − x = 2 − x, x( a − 1 − x ) = 3a − 8 → x(2 − x) = 1 → 2x − x^2 = 1 → (x − 1)^2 = 0 → x = 1, y = 2 − 1 = 1. Получаем единственную пару: (x, y) = (1, 1). - Для a = 11: y = a − 1 − x = 10 − x, x( a − 1 − x ) = 3a − 8 → x(10 − x) = 25 → −x^2 + 10x − 25 = 0 → (x − 5)^2 = 0 → x = 5, y = 10 − 5 = 5. Получаем единственную пару: (x, y) = (5, 5). Ответ: система имеет единственное решение при a = 3 или a = 11. Соответствующие решения: (1, 1) для a = 3 и (5, 5) для a = 11.