Исследование функции с помощью производной 5 Алексей и Вадим студенты 1-го курса химического факультета - на лабораторной работе определяют количество испарившейся воды из солевого раствора. В первом сосуде 32 кг раствора соли, во втором 5 кг. Студенты вычислили, что при испарении воды процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось в n раз, а во втором сосуде - в m раз. Определите наибольшее количество (в кг) испарившейся воды из обоих сосудов, если mn = 10.

Даны: в первом сосуде всего масса раствора 32 кг, во втором – 5 кг. Пусть в первом сосуде масса соли s1, во втором – s2. После испарения соль не исчезает, меняется только масса воды. 1) Найдём конечные массы растворов после испарения. - Процент соли после испарения увеличивается в n раз: p1' = n p1, где p1 = s1/32. Это даёт: s1 / T1 = n (s1 / 32) ⇒ 1 / T1 = n / 32 ⇒ T1 = 32 / n. - Аналогично для второго сосуда: T2 = 5 / m. 2) Объявим количество испарившейся воды. - В первом сосуде вода испарилась на Δ1 = начальная вода − конечная вода = (32 − s1) − (T1 − s1) = 32 − T1 = 32 − 32/n. - Во втором сосуде: Δ2 = 5 − T2 = 5 − 5/m. Итого суммарно испарено воды: Δ = Δ1 + Δ2 = (32 − 32/n) + (5 − 5/m) = 37 − 32/n − 5/m. 3) Учтём условие mn = 10. Выразим m через n: m = 10 / n (при n > 1 и m > 1, то 1 < n < 10). Тогда Δ(n) = 37 − 32/n − 5/(10/n) = 37 − 32/n − n/2. 4) Найдём максимум функции Δ(n) на диапазоне 1 < n < 10. - Производная: Δ'(n) = 32/n^2 − 1/2. - Приравниваем к нулю: 32/n^2 = 1/2 ⇒ n^2 = 64 ⇒ n = 8 (положительное). - Вторая производная Δ''(n) = −64/n^3 < 0 для n > 0, значит точка n = 8 — точка максимума. Значит, максимум достигается при n = 8, тогда m = 10/n = 1.25. 5) Значение максимума. Δ_max = 37 − 32/8 − 8/2 = 37 − 4 − 4 = 29 кг. Ответ: наибольшее количество испарившейся воды из обоих сосудов равно 29 кг (при n = 8 и m = 1,25). При этом конечная масса в каждом сосуде составляет T1 = 32/n = 4 кг и T2 = 5/m = 4 кг. Замечание по реальности: это возможно при условии, что масса соли в первом сосуде ≤ 4 кг, а во втором ≤ 4 кг (то есть исходные концентрации соли допустимы).