x²-x-6=0

Задача: x^2 - x - 6 = 0

Цель: понять решение подробно по шагам.

Пошаговое решение (несколько способов)

1. Факторизация (самый наглядный способ для школьников)

• Нужно найти два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -1.
• Такими числами являются -3 и 2 ((-3) * 2 = -6, (-3) + 2 = -1).
• Значит, x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2).
• Приравниваем каждый множитель к нулю:
  • x - 3 = 0 → x = 3
  • x + 2 = 0 → x = -2
• Ответ: x = 3 или x = -2.

2. Дискриминант (универсальный метод)

• Коэффициенты: a = 1, b = -1, c = -6.
• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4·1·(-6) = 1 + 24 = 25.
• Корни: x = (-b ± √D) / (2a) = (1 ± 5) / 2.
  • x = (1 + 5)/2 = 3
  • x = (1 - 5)/2 = -2
• Ответ: x = 3 или x = -2.

3. Дополнение до квадрата (вариант для проверки)

• x^2 - x - 6 = 0 → доделываем квадрат: x^2 - x = 6 (x - 1/2)^2 - (1/2)^2 = 6 (x - 1/2)^2 = 6 + 1/4 = 25/4
• Корни: x - 1/2 = ±√(25/4) = ±5/2
  • x = 1/2 + 5/2 = 3
  • x = 1/2 - 5/2 = -2
• Ответ: x = 3 или x = -2.

Проверка решений

• Подставим x = 3: 3^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0.
• Подставим x = -2: (-2)^2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0. Оба решения верны.

Итого: корни уравнения x^2 - x - 6 = 0: x = 3 и x = -2.