Дана функция (x)=61n(x).. Найдите ф'(х), φ'(1/2)

Задача: дана функция f(x) = 61 ln x. Найти f'(x) и φ'(1/2), где φ — обратная функция к f.

Пояснение и решение пошагово:

1. Найдем производную f:

• f(x) = 61 ln x, для x > 0.
• f'(x) = 61 · (1/x) = 61/x.

2. Обозначим φ = f^{-1}. Тогда для производной обратной функции справедливо formula:

• φ'(y) = 1 / f'(φ(y)).

3. Найдем φ(1/2):

• Чтобы найти φ(1/2), решим уравнение f(x) = 1/2: 61 ln x = 1/2 → ln x = 1/122 → x = e^{1/122}.
• Значит, φ(1/2) = e^{1/122}.

4. Найдем f'(φ(1/2)):

• f'(x) = 61/x, поэтому f'(φ(1/2)) = 61 / e^{1/122}.

5. Наконец, найдём φ'(1/2):

• φ'(1/2) = 1 / f'(φ(1/2)) = 1 / (61 / e^{1/122}) = e^{1/122} / 61.

Итог:

• f'(x) = 61/x.
• φ'(1/2) = e^{1/122} / 61 ≈ 0.0165 (приближённо).

Если нужно, могу привести более точную численную оценку e^{1/122}.