Теорема косинусов

Отлично. Ниже подробное объяснение теоремы косинусов и примеры решений, адаптированные под геометрию 9 класса и цель “Понять”. Что такое теорема косинусов - В любом треугольнике с сторонами a, b, c и против соответствующих углов A, B, C выполняется: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A b^2 = a^2 + cos? … (аналогично) - Это обобщение Пифагора: если угол C равен 90°, то cos C = 0 и формула превращается в a^2 + b^2 = c^2. Как получается эта теорема (простое объяснение) - Рассмотрим треугольник ABC, где стороны противоположные углам A, B, C равны a, b, c соответственно. Пусть угол C образован сторонами CA и CB, длины которых равны b и a. - Рассмотрим квадраты расстояний: AB^2 = |CA − CB|^2. - Раскрывая скобки: AB^2 = CA^2 + CB^2 − 2|CA||CB|cos(угол между CA и CB) = b^2 + a^2 − 2ab cos C. - Но AB = c, значит c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C. Это и есть теорема косинусов. Как использовать теорему косинусов - Чтобы найти сторону c, давайте известны a, b и угол C: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C. - Чтобы найти угол C, если известны a, b и c: cos C = (a^2 + b^2 − c^2) / (2ab). - Чтобы найти угол A или B, используйте аналогичные формулы: cos A = (b^2 + c^2 − a^2) / (2bc) cos B = (a^2 + c^2 − b^2) / (2ac) - Примечание: если угол C равен 90°, cos C = 0, и формула превращается в обычную теорему Пифагора: c^2 = a^2 + b^2. Пример 1: найти сторону c Дано: a = 5, b = 7, угол C = 60°. - cos C = cos 60° = 1/2. - c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C = 5^2 + 7^2 − 2·5·7·(1/2) = 25 + 49 − 35 = 39. - c = sqrt(39) ≈ 6.24. Пример 2: найти угол C по сторонам Дано: a = 3, b = 4, c = 6. - cos C = (a^2 + b^2 − c^2) / (2ab) = (9 + 16 − 36) / (2·3·4) = (−11) / 24 ≈ −0.4583. - C ≈ arccos(−0.4583) ≈ 117.3°. Пример 3: найти угол A по сторонам Дано: a = 5, b = 6, c = 7 (стороны противоположны A, B, C соответственно). - cos A = (b^2 + c^2 − a^2) / (2bc) = (6^2 + 7^2 − 5^2) / (2·6·7) = (36 + 49 − 25) / 84 = 60 / 84 ≈ 0.7143. - A ≈ arccos(0.7143) ≈ 44.4°. Ключевые моменты и полезные заметки - Теорема косинусов работает для любых треугольников, не только для остроугольных или прямоугольных. - Она восстанавливается к теореме Пифагора, если один угол равен 90°, потому что cos 90° = 0. - Всегда проверяйте, что вычисляемые значения косинуса лежат в диапазоне [-1, 1]. Если получаете за пределами этого диапазона, возможно допустимые три стороны не образуют треугольник. - Удобно запомнить три формы: - c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C - a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A - b^2 = a^2 + c^2 − 2ac cos B - Если известно только две стороны и не включенный угол, теорема косинусов не поможет напрямую; тогда нужен прямой угол или дополнительные данные. Практика для закрепления - Задача 1: Найдите c для a = 8, b = 5, C = 30°. Решение: cos 30° = √3/2 ≈ 0.8660 c^2 = 8^2 + 5^2 − 2·8·5·0.8660 = 64 + 25 − 69.28 ≈ 19.72 c ≈ 4.44 - Задача 2: Даны стороны a = 7, b = 9, c = 10. Найдите угол C. cos C = (a^2 + b^2 − c^2) / (2ab) = (49 + 81 − 100) / (2·7·9) = 30 / 126 ≈ 0.2381 C ≈ arccos(0.2381) ≈ 76.3° - Задача 3 (на уточнение): найти угол A, если a = 4, b = 5, c = 6. cos A = (b^2 + c^2 − a^2) / (2bc) = (25 + 36 − 16) / (2·5·6) = 45 / 60 = 0.75 A ≈ arccos(0.75) ≈ 41.41°. Если хочешь, пришли конкретную задачу по теореме косинусов — вместе пройдем шаг за шагом.